 |
A C. 1665. feladat (2021. április) |
C. 1665. A \(\displaystyle \textit{KÖMAL}\) szó minden betűje egy-egy tízes számrendszerbeli számjegyet jelöl. Határozzuk meg a \(\displaystyle \overline{\textit{KÖMAL}}\) ötjegyű számot, ha fennállnak a következő egyenlőségek:
$$\begin{align*} M+Ö+L & =\overline{KA}, \tag{1}\\ Ö+L & =\overline{KK}, \tag{2}\\ K+Ö+M & =10, \tag{3}\\ A\cdot{L} & =42. \tag{4} \end{align*}$$(5 pont)
A beküldési határidő 2021. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A feltételek alapján \(\displaystyle K,\ddot{O},M,A,L\) mind a 0, 1, ..., 9 számjegyek valamelyike, továbbá \(\displaystyle K\ne 0\), mert a \(\displaystyle \overline{K\ddot{O}MAL}\) szám ötjegyű. Így (2) alapján a \(\displaystyle \overline{KK}\) kétjegyű szám csak 11 lehet, hiszen \(\displaystyle \overline{KK}=\ddot{O}+L\leq 9+9=18\), vagyis \(\displaystyle K=1\).
Vonjuk ki egymásból az (1) és (3) egyenleteket:
\(\displaystyle (M+\ddot{O}+L)-(K+\ddot{O}+M)=\overline{KA}-10,\)
\(\displaystyle L-K=\overline{KA}-10,\)
amiből \(\displaystyle K=1\) alapján
\(\displaystyle L-1=A.\)
Ezt (4)-gyel egybevetve kapjuk, hogy \(\displaystyle A=6\) és \(\displaystyle L=7\), hiszen a 42 csak egyféleképpen írható fel két egyjegyű (pozitív) szám szorzataként (\(\displaystyle 42=6\cdot 7\)), \(\displaystyle L-1=A\) alapján pedig \(\displaystyle A\)-nak 6-nak, \(\displaystyle L\)-nek pedig 7-nek kell lennie.
Most (2) szerint
\(\displaystyle \ddot{O}=\overline{KK}-L=11-7=4,\)
végül (1) alapján
\(\displaystyle M=\overline{KA}-\ddot{O}-L=16-4-7=5.\)
Így \(\displaystyle K=1,\ddot{O}=4,M=5,A=6,L=7\). Ekkor mind a négy egyenlet valóban teljesül:
\(\displaystyle M+\ddot{O}+L=\overline{KA}=16,\)
\(\displaystyle \ddot{O}+L=\overline{KK}=11,\)
\(\displaystyle K+\ddot{O}+M=10,\)
\(\displaystyle A\cdot{L}=42.\)
Tehát \(\displaystyle \overline{K\ddot{O}MAL}=14567\).
Statisztika:
156 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 126 versenyző. 4 pontot kapott: 10 versenyző. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 5 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 4 dolgozat.
A KöMaL 2021. áprilisi matematika feladatai