A C. 1665. feladat (2021. április)

C. 1665. A $\displaystyle \textit{KÖMAL}$ szó minden betűje egy-egy tízes számrendszerbeli számjegyet jelöl. Határozzuk meg a $\displaystyle \overline{\textit{KÖMAL}}$ ötjegyű számot, ha fennállnak a következő egyenlőségek:

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A feltételek alapján $\displaystyle K,\ddot{O},M,A,L$ mind a 0, 1, ..., 9 számjegyek valamelyike, továbbá $\displaystyle K\ne 0$, mert a $\displaystyle \overline{K\ddot{O}MAL}$ szám ötjegyű. Így (2) alapján a $\displaystyle \overline{KK}$ kétjegyű szám csak 11 lehet, hiszen $\displaystyle \overline{KK}=\ddot{O}+L\leq 9+9=18$, vagyis $\displaystyle K=1$.

Vonjuk ki egymásból az (1) és (3) egyenleteket:

$\displaystyle (M+\ddot{O}+L)-(K+\ddot{O}+M)=\overline{KA}-10,$

$\displaystyle L-K=\overline{KA}-10,$

amiből $\displaystyle K=1$ alapján

$\displaystyle L-1=A.$

Ezt (4)-gyel egybevetve kapjuk, hogy $\displaystyle A=6$ és $\displaystyle L=7$, hiszen a 42 csak egyféleképpen írható fel két egyjegyű (pozitív) szám szorzataként ($\displaystyle 42=6\cdot 7$), $\displaystyle L-1=A$ alapján pedig $\displaystyle A$-nak 6-nak, $\displaystyle L$-nek pedig 7-nek kell lennie.

Most (2) szerint

$\displaystyle \ddot{O}=\overline{KK}-L=11-7=4,$

végül (1) alapján

$\displaystyle M=\overline{KA}-\ddot{O}-L=16-4-7=5.$

Így $\displaystyle K=1,\ddot{O}=4,M=5,A=6,L=7$. Ekkor mind a négy egyenlet valóban teljesül:

$\displaystyle M+\ddot{O}+L=\overline{KA}=16,$

$\displaystyle \ddot{O}+L=\overline{KK}=11,$

$\displaystyle K+\ddot{O}+M=10,$

$\displaystyle A\cdot{L}=42.$

Tehát $\displaystyle \overline{K\ddot{O}MAL}=14567$.

Statisztika:

156 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	126 versenyző.
4 pontot kapott:	10 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	4 dolgozat.

A KöMaL 2021. áprilisi matematika feladatai