A C. 1681. feladat (2021. szeptember)

C. 1681. Legyenek $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ olyan, $\displaystyle 0$-tól különböző valós számok, amelyek összege $\displaystyle 0$. Bizonyítsuk be, hogy

$\displaystyle \frac{a^3-a^2+b^3-b^2+c^3+c^2}{ab}=3c+2.$

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. október 11-én LEJÁRT.

1. megoldás. Mivel a számok 0-tól különbözők, így az eredetivel ekvivalens az $\displaystyle ab$-vel való szorzás után kapott

$\displaystyle a^3-a^2+b^3-b^2+c^3+c^2=3abc+2ab$

egyenlet. Mindkét oldalhoz $\displaystyle (a^2+b^2-c^2-3abc)$-t adva:

$\displaystyle a^3+b^3+c^3-3abc=a^2+2ab+b^2-c^2,$

a jobb oldalon teljes négyzetté alakítva:

$\displaystyle a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)^2-c^2,$

majd mindkét oldalt szorzattá alakítva az eredetivel ekvivalens

$\displaystyle (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a+b+c)(a+b-c)$

egyenletet kapjuk. Mivel $\displaystyle a+b+c=0$, ezért mindkét oldalon 0 áll, így az egyenlet teljesül.

Ezzel igazoltuk a feladat állítását.

2. megoldás. Kicsivel több számolással úgy is célt érhetünk, ha az

$\displaystyle a^3-a^2+b^3-b^2+c^3+c^2=3abc+2ab$

egyenletben a megadott $\displaystyle a+b+c=0$ feltételt használva $\displaystyle c=-a-b$-t helyettesítünk, és felbontjuk a zárójeleket.

A jobb oldalra következőt kapjuk:

$\displaystyle 3abc+2ab=3ab(-a-b)+2ab=-3a^2b-3ab^2+2ab.$

A bal oldalra a következőt kapjuk:

Mivel a két oldalra ugyanazt kaptuk, ezért az egyenlet teljesül, így az eredeti egyenlet teljesülését is igazoltuk.

Statisztika:

225 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	159 versenyző.
4 pontot kapott:	6 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.
Nem versenyszerű:	19 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2021. szeptemberi matematika feladatai