A C. 1683. feladat (2021. szeptember)

C. 1683. Anna és Boglárka a következő játékot játsszák egy-egy négyzetrácsos lapon. Mindketten kijelölnek a saját négyzetrácsos lapjukon egy \(\displaystyle 10\times10\)-es négyzetet és ezen beszíneznek 7 darab \(\displaystyle 1\times1\)-es rácsnégyzetet kékre, 14-et pedig pirosra.

Egyikük sem láthatja, hogy a másik a \(\displaystyle 10\times10\)-es négyzeten belül hogyan színezett.

Ezután egy forduló a következőképpen zajlik: először Anna mond egy \(\displaystyle (i,j)\) számpárt, ahol az \(\displaystyle i\), \(\displaystyle j\) pozitív egész számokra \(\displaystyle 1 \le i,j \le 10\) teljesül (például az \(\displaystyle (5,2)\) számpár a \(\displaystyle 10\times10\)-es négyzet 5. sorának és 2. oszlopának találkozásánál levő rácsnégyzetet jelenti). Ha az \(\displaystyle (i,j)\) számpár Boglárka ábráján egy színezett négyzetet határoz meg, akkor Boglárkának azt kell mondania, hogy ,,talált'', ellenkező esetben azt, hogy ,,nem talált''. Ezután ugyanilyen feltételek mellett Boglárka mond egy számpárt, amire Anna válaszol.

Az első két fordulóban sem Anna, sem Boglárka nem talált. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a harmadik fordulóban Anna egy kék, Boglárka pedig egy piros négyzetet talál el?

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. október 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A megoldás során feltételezzük, hogy Anna és Boglárka sem mond olyan négyzetet, amit már korábban is mondott.

Az, hogy Anna a harmadik fordulóban kék négyzetet talál el, és az, hogy Boglárka pirosat, egymástól független események. Így az együttes bekövetkezés valószínűségét úgy határozhatjuk meg, hogy külön-külön kiszámoljuk a valószínűségeket, majd ezeket összeszorozzuk.

Anna a második tippje után még 98 négyzetre nem tippelt, ezek között 7 kék van, így annak valószínűsége, hogy harmadikra kék négyzetet talál el \(\displaystyle \frac{7}{98}=\frac{1}{14}\).

Ehhez hasonlóan, Boglárka a második tippje után még 98 négyzetre nem tippelt, ezek között 14 piros van, így annak valószínűsége, hogy harmadikra piros négyzetet talál el \(\displaystyle \frac{14}{98}=\frac{1}{7}\).

A kérdéses valószínűség tehát \(\displaystyle \frac{1}{14}\cdot \frac{1}{7}=\frac{1}{98}\).

Statisztika:

86 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Aggod Ádám, Besze Zsolt, Cynolter Dorottya, Egyházi Hanna, Hajós Balázs, Halász Henrik, Horváth 328 Áron, Keszthelyi Eszter, Kurucz Márton, László Levente, Mészáros Anna Veronika, Murai Dóra Eszter, Szabó 219 Petra, Szalanics Tamás, Szegedi Botond Zoltán, Üveges Ádám, Viczián Dániel.
4 pontot kapott:	Albert Ákos, Ander Leon, Deák Gergely, Fekete Patrik, Flódung Áron , Gurabi Kristóf, Horváth Milán, Jakusch Tamás, Jósvai Dominik, Kiss 625 Dóra, Nagy Daniella, Nemes 468 Kornél, Pájer Albert, Petneházi Péter, Pulics Martin, Radzik Réka, Schneider Dávid, Sipeki Márton, Szabó Zóra, Szamkó Szabolcs, Szécsi Szabolcs Ádám, Szittyai Anna, Tóth Gréta, Török Dalma, Váczy Dorottya, Vankó Lóránt Albert, Waldhauser Miklós, Xu Yiling.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2021. szeptemberi matematika feladatai