A C. 1693. feladat (2021. november)

C. 1693. Egy kocka csúcsai közül véletlenszerűen kiválasztunk négyet. Bármely négy csúcsot ugyanakkora valószínűséggel választunk ki. Mekkora az esélye, hogy a négy csúcs tetraédert határoz meg? Mi a valószínűsége, hogy a négy pont egy szabályos tetraéder négy csúcsa?

Javasolta: Zagyva Tiborné (Baja)

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A kockának nyolc csúcsa van, a tetraédernek négy. A négy pontnak \(\displaystyle \binom{8}{4} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 70\) – féle kiválasztása lehetséges.

Ha a négy pont egy síkban van, akkor a pontok nem határoznak meg tetraédert. Ilyen négyest alkot a kocka \(\displaystyle 6\) lapjának 4-4 csúcsa és a \(\displaystyle 6\) átlósík 4-4 csúcsa, azaz 12 ilyen pontnégyes van. Így \(\displaystyle 70-12=58\), a feltételnek megfelelő tetraédert kaphatunk. A keresett valószínűség: \(\displaystyle p=\frac{58}{70} = \frac{29}{35}\approx 0,83\).

A kocka két szemközti lapjára illeszkedő, kitérő lapátlók végpontjai határoznak meg szabályos tetraédert. Egy lappárhoz két ilyen tetraéder tartozik, amelyeknek a többi éle is a kocka másik négy lapjának páronként kitérő lapátlója, ezért két megfelelő tetraéder lehetséges. A keresett valószínűség \(\displaystyle p=\frac{2}{70} = \frac{1}{35}\).

Statisztika:

54 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Besze Zsolt, Biborka Dániel, Keszthelyi Eszter, Murai Dóra Eszter, Nagy Daniella, Sipeki Márton, Szabó Zóra, Werner Kinga.
4 pontot kapott:	Baksai Bálint, Bilicki Vilmos, Csorba Mihály, Deák Gergely, Fekete Patrik, Hajós Balázs, Horváth 328 Áron, Hosszu Noel, Szabó Réka, Szalanics Tamás, Szilágyi Kornél Csaba, Szittyai Anna, Tóth Gréta, Török Dalma, Váczy Dorottya, Vankó Lóránt Albert, Waldhauser Miklós, Xu Yiling.
3 pontot kapott:	14 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2021. novemberi matematika feladatai