A C. 1699. feladat (2022. január)

C. 1699. Határozzuk meg, hogy az $\displaystyle (x+1)\cdot(x^2+1)\cdot(x^3+1)\cdot\ldots \cdot(x^{12}+1)$ szorzatban szereplő műveleteket elvégezve, összevonás után mennyi az $\displaystyle x^{14}$ hatvány együtthatója.

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A hatványozás azonosságait figyelembe véve, a feladat ekvivalens azzal a feladattal, hogy a $\displaystyle 14$-et hányféleképpen állíthatjuk elő $\displaystyle 12$-nél nem nagyobb, különböző pozitív egész számok összegeként, hiszen amikor összeszorozzuk az $\displaystyle x$ hatványait, akkor a kitevők összeadódnak. Célszerű az eseteket szisztematikusan felsorolni, például az összegben szereplő legnagyobb tag alapján, a tagokat csökkenő sorrendben felírva:
Ha a $\displaystyle 12$ a legnagyobb tag, akkor csak egy lehetőség van: $\displaystyle 14=12+2$.
Ha a $\displaystyle 11$ a legnagyobb tag, akkor két lehetőség van: $\displaystyle 14=11+3=11+2+1$.
Tovább csökkentve a legnagyobb tagot, a következőket kapjuk:
$\displaystyle 14=10+4=10+3+1$,
$\displaystyle 14=9+5=9+4+1=9+3+2$,
$\displaystyle 14=8+6=8+5+1=8+4+2=8+3+2+1$,
$\displaystyle 14=7+6+1=7+5+2=7+4+3=7+4+2+1$,
$\displaystyle 14=6+5+3=6+5+2+1=6+4+3+1$,
$\displaystyle 14=5+4+3+2$.
Több lehetőség nincs, hiszen ha a legnagyobb tag $\displaystyle 5$-nél kisebb, akkor az összeg nem nagyobb, mint $\displaystyle 10$. A felsorolt lehetőségek száma $\displaystyle 20$, így a kérdéses szorzatban szereplő műveleteket elvégezve, összevonás után az $\displaystyle x^{14}$ hatvány együtthatója $\displaystyle 20$.

Statisztika:

129 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	76 versenyző.
4 pontot kapott:	21 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2022. januári matematika feladatai