A C. 1699. feladat (2022. január)

C. 1699. Határozzuk meg, hogy az \(\displaystyle (x+1)\cdot(x^2+1)\cdot(x^3+1)\cdot\ldots \cdot(x^{12}+1)\) szorzatban szereplő műveleteket elvégezve, összevonás után mennyi az \(\displaystyle x^{14}\) hatvány együtthatója.

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A hatványozás azonosságait figyelembe véve, a feladat ekvivalens azzal a feladattal, hogy a \(\displaystyle 14\)-et hányféleképpen állíthatjuk elő \(\displaystyle 12\)-nél nem nagyobb, különböző pozitív egész számok összegeként, hiszen amikor összeszorozzuk az \(\displaystyle x\) hatványait, akkor a kitevők összeadódnak. Célszerű az eseteket szisztematikusan felsorolni, például az összegben szereplő legnagyobb tag alapján, a tagokat csökkenő sorrendben felírva:
Ha a \(\displaystyle 12\) a legnagyobb tag, akkor csak egy lehetőség van: \(\displaystyle 14=12+2\).
Ha a \(\displaystyle 11\) a legnagyobb tag, akkor két lehetőség van: \(\displaystyle 14=11+3=11+2+1\).
Tovább csökkentve a legnagyobb tagot, a következőket kapjuk:
\(\displaystyle 14=10+4=10+3+1\),
\(\displaystyle 14=9+5=9+4+1=9+3+2\),
\(\displaystyle 14=8+6=8+5+1=8+4+2=8+3+2+1\),
\(\displaystyle 14=7+6+1=7+5+2=7+4+3=7+4+2+1\),
\(\displaystyle 14=6+5+3=6+5+2+1=6+4+3+1\),
\(\displaystyle 14=5+4+3+2\).
Több lehetőség nincs, hiszen ha a legnagyobb tag \(\displaystyle 5\)-nél kisebb, akkor az összeg nem nagyobb, mint \(\displaystyle 10\). A felsorolt lehetőségek száma \(\displaystyle 20\), így a kérdéses szorzatban szereplő műveleteket elvégezve, összevonás után az \(\displaystyle x^{14}\) hatvány együtthatója \(\displaystyle 20\).

Statisztika:

129 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	76 versenyző.
4 pontot kapott:	21 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2022. januári matematika feladatai