A C. 1701. feladat (2022. január) |
C. 1701. Mennyi azon \(\displaystyle x\) egész számok összege, amelyekre
\(\displaystyle \sqrt{2x^2-6x-20}<-x+5 \)
teljesül?
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Először meghatározzuk a négyzetgyökös kifejezés értelmezési tartományát. Mivel a valós számok halmazán nemnegatív számoknak értelmezzük a négyzetgyökét, ezért \(\displaystyle 2x^2-6x-20 \geq 0\). A zérushelyeket akár a megoldóképlettel, akár szorzattá alakítással is megkereshetjük: \(\displaystyle 2x^2-6x-20=2(x^2-3x-10)=2(x+2)(x-5)\), vagyis \(\displaystyle x_1=-2\) és \(\displaystyle x_2=5\), így a kifejezés \(\displaystyle x \leq -2\) vagy \(\displaystyle x \geq 5\) esetén nemnegatív.
Az eredeti egyenlőtlenség jobb oldala biztosan pozitív, hiszen nagyobb, mint egy nemnegatív kifejezés, így \(\displaystyle -x+5 > 0\), azaz \(\displaystyle x<5\). Az előzőekben meghatározott két halmaz metszete: \(\displaystyle x \leq -2\), a továbbiakban elegendő ezen a halmazon megoldani az egyenlőtlenséget.
Az egyenlőtlenség mindkét oldalát négyzetre emelhetjük, hiszen a fenti intervallumban nemnegatívak:
\(\displaystyle 2x^2-6x-20<x^2-10x+25,\)
amelyet nullára redukálva az
\(\displaystyle x^2+4x-45=(x+9)(x-5)<0\)
egyenlőtlenséghez jutunk. A zérushelyek: \(\displaystyle x_1=5\) és \(\displaystyle x_2=-9\), így a kifejezés
\(\displaystyle -9 <x<5\) esetén negatív. Ezt az \(\displaystyle x \leq -2\)-vel összevetve, az egyenlőtlenség minden \(\displaystyle -9<x \leq -2\) valós \(\displaystyle x\)-re teljesül. Ebben az intervallumban \(\displaystyle 7\) egész szám van, amelyek összege: \(\displaystyle -8+(-7)+(-6)+(-5)+(-4)+(-3)+(-2)=-35\).
Statisztika:
189 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 58 versenyző. 4 pontot kapott: 39 versenyző. 3 pontot kapott: 21 versenyző. 2 pontot kapott: 16 versenyző. 1 pontot kapott: 16 versenyző. 0 pontot kapott: 7 versenyző. Nem versenyszerű: 14 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2022. januári matematika feladatai