A C. 1705. feladat (2022. február)

C. 1705. Egy deltoidról tudjuk, hogy húrnégyszög, oldalainak hossza 42 és 56 hosszúságegység. Milyen messze van egymástól a beírt és a köréírt körének középpontja?

Javasolta: Siposs András (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. március 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. A deltoid érintőnégyszög, mert a szemben levő oldalainak összege a tengelyes szimmetria miatt egyenlő. Ezért, ha a deltoid húrnégyszög is, akkor, mivel két szemben levő szöge egyenlő nagyságú, ezért ezek a szögek derékszögek. Legyen az $\displaystyle ABCD$ deltoid szimmetriatengelye az $\displaystyle AC$ átló, így a $\displaystyle B$ és $\displaystyle D$ csúcsoknál levő belső szögek $\displaystyle 90^{\circ}$-osak. Tekintsük a következő ábrát.

Az $\displaystyle ABC$ és $\displaystyle ADC$ derékszögű háromszögek, amelyeknek befogói a feltételek szerint $\displaystyle AB=AD=42$ és $\displaystyle BC=DC=56$.

A Pitagorasz-tételt alkalmazva $\displaystyle 42^2+56^2={AC}^2$, ahonnan azt kapjuk, hogy $\displaystyle AC=70$ hosszúságegység. A deltoid köré írt kör középpontja az $\displaystyle AC$ átló $\displaystyle O$ felezőpontja, így $\displaystyle AO=35$.

Mivel a deltoid érintőnégyszög, ezért belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Az $\displaystyle AC$ átló felezi az $\displaystyle A$, illetve $\displaystyle C$ csúcsnál levő belső szögeket, ezért a beírt kör középpontja az $\displaystyle AC$ átlón van. Az ábrán megrajzoltuk a $\displaystyle D$ csúcsnál levő derékszög szögfelezőjét, ez az átlót a beírt kör $\displaystyle K$ középpontjában metszi.

Az $\displaystyle ADC$ háromszögre felírjuk a belső szögfelező tételét:

$\displaystyle \frac{AK}{70-AK}=\frac{42}{56},$

innen egyszerű számolással kapjuk, hogy

$\displaystyle 98AK=42\cdot70,$

vagyis

$\displaystyle AK=30.$

Ebből azonnal következik $\displaystyle AO=35$ alapján, hogy $\displaystyle KO=5$, azaz a beírt és körülírt kör középpontja $\displaystyle 5$ hosszúságegységre van egymástól.

2. megoldás. Felhasználjuk az 1. megoldás megállapításait és az ábra jelöléseit:

a $\displaystyle B$ és $\displaystyle D$ csúcsoknál levő belső szögek $\displaystyle 90^{\circ}$-osak, $\displaystyle AC=70$, $\displaystyle AO=35$, a beírt kör középpontja az $\displaystyle AC$ átló $\displaystyle K$ pontja.

Bocsássunk a $\displaystyle K$ pontból merőlegeseket a $\displaystyle CD$ és $\displaystyle AD$ oldalakra, a merőlegesek talppontjai $\displaystyle E$, illetve $\displaystyle F$.

A $\displaystyle KE$ és $\displaystyle KF$ szakaszok hossza a beírt kör $\displaystyle r$ sugara, a $\displaystyle KEDF$ négyszög minden szöge derékszög, és $\displaystyle KE=KF$ miatt a négyszög négyzet, tehát $\displaystyle ED=FD=r$ is igaz.

Felhasználjuk azt a jól ismert összefüggést, hogy ha az $\displaystyle ABCD$ érintőnégyszög területe $\displaystyle t$, kerülete $\displaystyle k$, akkor

Az $\displaystyle ABCD$ négyszög területe $\displaystyle t=2\cdot{\frac{42\cdot56}{2}}=2352$ területegység, kerülete $\displaystyle k=2\cdot(42+56)=196$ hosszúságegység, ennek megfelelően (1) alapján $\displaystyle r=24$. Világos, hogy az $\displaystyle AKF$ és $\displaystyle ACD$ háromszögek hasonlók, hiszen megfelelő szögeik egyenlők az oldalak párhuzamossága, illetve egy egyenesre esése miatt.

A két háromszög megfelelő oldalainak aránya tehát egyenlő:

Az $\displaystyle r=24$ és $\displaystyle AC=70$ behelyettesítése után (2)-ből adódik, hogy

$\displaystyle AK=\frac{24\cdot70}{56}=30.$

Ebből $\displaystyle AO=35$ szerint következik, hogy $\displaystyle KO=5$, ezért a beírt és körülírt kör középpontja $\displaystyle 5$ hosszúságegységre van egymástól.

Megjegyzések. 1.) Az 1. megoldásban a szögfelezőtételből az is következik, hogy $\displaystyle AK<CK$, tehát a $\displaystyle K$ pont az ábrának megfelelően az $\displaystyle AO$ szakasz belső pontja.

2.) Általánosan bizonyítható, hogy ha az $\displaystyle ABCD$ deltoid húrnégyszög, szimmetriatengelye az $\displaystyle AC$ átló, a négyszög oldalainak hossza $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$, továbbá $\displaystyle a<b$, akkor $\displaystyle KO=\frac{((b-a)\sqrt{a^2+b^2}}{2(b+a)}$.

Ha $\displaystyle b<a$, akkor az összefüggés számlálójában $\displaystyle b-a$ helyett $\displaystyle a-b$ szerepel, ha pedig $\displaystyle a=b$, akkor a $\displaystyle K$ és $\displaystyle O$ pontok azonosak, vagyis $\displaystyle KO=0$.

Statisztika:

138 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	100 versenyző.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	3 dolgozat.

A KöMaL 2022. februári matematika feladatai