A C. 1706. feladat (2022. február)

C. 1706. Bizonyítsuk be, hogy 2022 darab pozitív egész szám között biztosan van 2 olyan, amelyek különbsége vagy összege osztható 4040-nel.

Javasolta: Sáfár Lajos (Ráckeve)

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Készítsünk skatulyákat a $\displaystyle 4040$-nel való osztási maradékok alapján a következőképpen: $\displaystyle 0$, $\displaystyle \pm1$, $\displaystyle \pm2$, $\displaystyle \ldots$, $\displaystyle \pm2019$, $\displaystyle \pm 2020$, ez $\displaystyle 2021$ darab skatulya. Ha a $\displaystyle 2022$ darab egész szám mindegyikét berakjuk a $\displaystyle 4040$-nel való osztási maradékának megfelelő skatulyába, akkor a skatulyaelv alapján lesz legalább egy skatulya, amely legalább két darab számot tartalmaz. Tekintsünk ebből tetszőleges két számot. Ha mindkettő ugyanannyi maradékot ad $\displaystyle 4040$-nel osztva, akkor különbségük osztható $\displaystyle 4040$-nel. Ha az egyik szám $\displaystyle k$, a másik pedig $\displaystyle -k$ maradékú, akkor pedig az összegük osztható $\displaystyle 4040$-nel, így a feladat állítását beláttuk.

Statisztika:

114 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	93 versenyző.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2022. februári matematika feladatai