A C. 1707. feladat (2022. február)

C. 1707. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben a szokásos jelölésekkel \(\displaystyle b=6\), \(\displaystyle a=2\) és \(\displaystyle {\gamma=120^{\circ}}\). Határozzuk meg a \(\displaystyle \gamma\) szög \(\displaystyle CD\) belső szögfelezőjének pontos hosszát.

(MC&IC)

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. március 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Jelöljük a \(\displaystyle CD\) belső szögfelező hosszát röviden \(\displaystyle f\)-fel. Húzzunk párhuzamost a \(\displaystyle B\) ponton keresztül a \(\displaystyle CD\) szögfelezővel, a párhuzamos az \(\displaystyle AC\) oldal egyenesét az \(\displaystyle E\) pontban metszi.

Nyilvánvaló, hogy \(\displaystyle BCE\sphericalangle=60^{\circ}\), illetve \(\displaystyle CD\) és \(\displaystyle EB\) párhuzamossága miatt \(\displaystyle ACD\sphericalangle\) és \(\displaystyle AEB\sphericalangle\) egyállású szögek, ezért egyenlők, továbbá \(\displaystyle DCB\sphericalangle\) és \(\displaystyle CBE\sphericalangle\) váltószögek, tehát szintén egyenlők. Ez azt jelenti, hogy a \(\displaystyle BEC\) háromszög minden szöge \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os, ezért ez a háromszög szabályos és így \(\displaystyle CE=EB=2\).

Alkalmazzuk a párhuzamos szelőszakaszok tételét a \(\displaystyle CD\) és \(\displaystyle EB\) párhuzamosokkal metszett \(\displaystyle BAE\sphericalangle\)-re: \(\displaystyle \frac{f}{EB}=\frac{AC}{AE}\). A szakaszok hosszának behelyettesítése után:

\(\displaystyle \frac{f}{2}=\frac{6}{8},\)

innen egyszerű számolással kapjuk, hogy \(\displaystyle f=\frac{3}{2}\), tehát a \(\displaystyle CD\) szögfelező hosszának pontos értéke \(\displaystyle \frac{3}{2}\) hosszúságegység.

2. megoldás. Az 1. megoldás ábrájának jelöléseit használjuk. Írjuk fel a koszinusztételt az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB=c\) oldalára:

\(\displaystyle c^2=2^2+6^2-2\cdot2\cdot6\cdot\cos{120^{\circ}}.\)

Ebből a \(\displaystyle \cos120^{\circ}=-\frac{1}{2}\) ismeretében egyszerű számolással adódik, hogy \(\displaystyle c^2=52\), azaz \(\displaystyle c=\sqrt{52}\).

A belső szögfelező tételéből következik, hogy

\(\displaystyle \frac{BD}{AD}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},\)

ezért

Felhasználjuk azt az ismert tételt (Geometriai feladatgyűjtemény I., 1256. feladat), amely szerint a belső szögfelező négyzetére \(\displaystyle f^2=AC\cdot{BC}-AD\cdot{BD}\) teljesül.

Ebből (1) szerint \(\displaystyle f^2=6\cdot{2}-{\frac{3\sqrt{52}}{4}}\cdot\frac{\sqrt{52}}{4}\), ahonnan a műveletek elvégzésével és egyszerűsítéssel azt kapjuk, hogy \(\displaystyle f^2=\frac{9}{4}\), és így \(\displaystyle f=\frac{3}{2}\).

A \(\displaystyle CD\) belső szögfelező pontos hossza ezért \(\displaystyle \frac{3}{2}\) hosszúságegység.

3. megoldás. Ezúttal is az 1. megoldás ábrájának jelöléseit alkalmazzuk. Felhasználjuk továbbá a \(\displaystyle BD\) szakasznak a 2. megoldásban már kiszámított értékét.

Felírhatjuk a koszinusztételt a \(\displaystyle BDC\) háromszög \(\displaystyle BD\) oldalára:

\(\displaystyle BD^2=2^2+f^2-2\cdot{2}\cdot{f}\cdot{\cos60^{\circ}}.\)

A \(\displaystyle \cos60^{\circ}=\frac{1}{2}\) és \(\displaystyle BD=\frac{\sqrt{52}}{4}\) behelyettesítésével számolás után az

\(\displaystyle f^2-2f+\frac{3}{4}=0\)

másodfokú egyenletet kapjuk.

A másodfokú egyenlet gyökei teljes négyzetté alakítás, vagy a megoldóképlet alkalmazása után:

\(\displaystyle f_1=\frac{3}{2};\quad{f_2=\frac{1}{2}}.\)

Az \(\displaystyle f_2\) nem megoldása a feladatnak, mert az \(\displaystyle ACD\) háromszögben az \(\displaystyle f=\frac{1}{2}\), \(\displaystyle AD=\frac{3\sqrt{52}}{4}\) és \(\displaystyle AC=6\) hosszúságokra nem teljesül a háromszög-egyenlőtlenség, hiszen számológéppel is ellenőrizhetjük, hogy \(\displaystyle f+AD<AC\).

A feladat megoldása tehát \(\displaystyle CD=f=\frac{3}{2}\), ez számolással egyszerűen ellenőrizhető, hogy mind a \(\displaystyle BCD\), mind az \(\displaystyle ACD\) háromszögben teljesíti a háromszög-egyenlőtlenséget.

Megjegyzés. A háromszög két oldalának hossza és a két oldal által bezárt szög a feltételek szerint adott. Ez a háromszög tehát megszerkeszthető és az \(\displaystyle AB\) oldal hossza is egyértelműen meghatározható. De ez azt is jelenti, hogy a \(\displaystyle b=6\), \(\displaystyle a=2\) és \(\displaystyle \gamma=120^{\circ}\) adatokkal szerkesztett háromszög \(\displaystyle C\) pontból induló belső szögfelezőjének hossza is egyértelműen meghatározott, azaz a \(\displaystyle CD=f, DB\) és \(\displaystyle BC\) szakaszok biztosan teljesítik a háromszög-egyenlőtlenséget.

Statisztika:

49 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Besze Zsolt, Cynolter Dorottya, Egyházi Hanna, Fekete Patrik, Horváth Milán, Hosszu Noel, Jójárt Emese, Keszthelyi Eszter, Kurucz Márton, Nagy Daniella, Nemes 468 Kornél, Pekk Márton, Pozbai Hanga , Radzik Réka, Rumpler Bianka, Sipeki Márton, Szabó Réka, Szalanics Tamás, Tóth Gréta, Waldhauser Miklós, Xu Yiling.
4 pontot kapott:	Aggod Ádám, Deák Gergely, Halász Henrik, Jakusch Tamás, Josepovits Gábor, Petneházi Péter, Schneider Dávid, Werner Kinga.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2022. februári matematika feladatai