 |
A C. 1708. feladat (2022. február) |
C. 1708. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számpárok halmazán:
\(\displaystyle \log_2^2(x+y)+\log_2^2(xy)+1=2\log_2(x+y). \)
(MC&IC)
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A logaritmus definíciója miatt \(\displaystyle x+y>0\) és \(\displaystyle xy>0\), amiből \(\displaystyle x>0\) és \(\displaystyle y>0\) következik. Rendezéssel:
\(\displaystyle \log_2^2(x+y)-2\log_2(x+y)+1+\log_2^2(xy)=0.\)
A bal oldali első három tag összegét teljes négyzetté alakítjuk:
\(\displaystyle (\log_2(x+y)-1)^2+\log_2^2(xy)=0.\)
Két valós szám négyzetének összege akkor és csak akkor egyenlő \(\displaystyle 0\)-val, ha mindkét valós szám \(\displaystyle 0\), azaz
\(\displaystyle \log_2(x+y)-1=0\)
és
\(\displaystyle \log_2(xy)=0.\)
A logaritmus definícióját alkalmazva a következő egyenletrendszert kapjuk:
\(\displaystyle x+y=2,\)
\(\displaystyle xy=1.\)
Ezt például a behelyettesítő módszerrel oldhatjuk meg:
\(\displaystyle y=2-x,\)
\(\displaystyle x(2-x)=1,\)
\(\displaystyle x^2-2x+1=0.\)
Így az \(\displaystyle x=y=1\) megoldást kapjuk, amely megfelel a feltételeknek. A feladat egyetlen megoldása az \(\displaystyle (1;1)\) számpár.
Statisztika:
39 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bilicki Vilmos, Cynolter Dorottya, Egyházi Hanna, Fekete Patrik, Halász Henrik, Horváth Milán, Josepovits Gábor, Keresztes Alex Zsolt, Keszthelyi Eszter, Kis Dorka 004, Kurucz Márton, Magyar Gábor Balázs, Mészáros Anna Veronika, Nagy Daniella, Pekk Márton, Petneházi Péter, Radzik Réka, Rumpler Bianka, Sipeki Márton, Szabó Zóra, Szamkó Szabolcs, Tóth Gréta, Velkey János, Werner Kinga, Xu Yiling, Yusuf A Khand. 4 pontot kapott: Ágoston Igor Milán, Besze Zsolt, Deák Gergely, Schneider Dávid, Szabó Réka. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2022. februári matematika feladatai