A C. 1715. feladat (2022. április)

C. 1715. A $\displaystyle k$ kör belsejébe rajzoltunk egy 8 cm sugarú $\displaystyle k_1$ kört. Mindkét kört metszi az ábrán látható módon egy 15 cm sugarú $\displaystyle k_2$ kör. Mekkora $\displaystyle k$ sugara, ha a $\displaystyle k$ belsejében, de $\displaystyle k_1$-en kívül levő satírozott síkidom területe megegyezik a $\displaystyle k_2$ belsejében levő satírozott síkidomok területének összegével?

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tekintsük a következő ábrát, amelyen a $\displaystyle k_1$ és $\displaystyle k_2$ körök közös részének területét $\displaystyle T_1$-gyel, a $\displaystyle k_2$ kör $\displaystyle k$ körön kívüli részének területét $\displaystyle T_2$-vel, a $\displaystyle k$ körnek a $\displaystyle k_1$ és $\displaystyle k_2$ körökkel nem közös részének területét $\displaystyle T_3$-mal jelöltük, végül $\displaystyle T$-vel annak a résznek a területét, amely a $\displaystyle k$ és $\displaystyle k_2$ körök közös része, de nem tartozik a $\displaystyle k_1$ körhöz.

A feltétel szerint

Felírhatjuk, hogy $\displaystyle T+T_1+T_2=15^2\pi$, továbbá a $\displaystyle k$ kör sugarát $\displaystyle R$-rel jelölve $\displaystyle R^2\pi-8^2\pi-T=T_3$. A két egyenletet összeadva $\displaystyle T$ értéke kiesik, így azt kapjuk, hogy

A (2) egyenletből (1) alapján az következik, hogy $\displaystyle R^2\pi=8^2\pi+15^2\pi$, a $\displaystyle \pi$-vel való osztás után pedig $\displaystyle R^2=8^2+15^2=289$, innen pedig $\displaystyle R=17$, tehát a $\displaystyle k$ kör sugara 17 cm hosszúságú.

Megjegyzés. A feladatbeli köröket halmazoknak tekintve a $\displaystyle T_1, T_2, T_3, T$ területeket felírhattuk volna halmazműveletek segítségével is.

Statisztika:

89 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	71 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2022. áprilisi matematika feladatai