A C. 1721. feladat (2022. május)

C. 1721. Boglárka felírt sorban egymás után \(\displaystyle 2022\) darab számot úgy, hogy a második számot elosztva az elsővel, a hányados éppen a harmadik számmal lett egyenlő, és így tovább, például a hetedik szám egyenlő a hatodik és az ötödik szám hányadosával. Melyik számot írta fel utoljára Boglárka, ha az első a \(\displaystyle 20\), a második pedig a \(\displaystyle 22\) volt?

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A harmadik szám a \(\displaystyle \displaystyle{\frac{22}{20}=\frac{11}{10}}\), a negyedik a \(\displaystyle \displaystyle{\frac{11}{10}: 22=\frac{1}{20}}\), az ötödik az \(\displaystyle \displaystyle{\frac{1}{20}: \frac{11}{10}=\frac{1}{22}}\). A hatodik szám az \(\displaystyle \displaystyle{\frac{1}{22}: \frac{1}{20}=\frac{10}{11}}\), a hetedik a \(\displaystyle \displaystyle{\frac{10}{11}: \frac{1}{22}=20}\), a nyolcadik a \(\displaystyle \displaystyle{20: \frac{10}{11}=22}\). Látjuk, hogy a hetedik szám egyenlő az elsővel, és a nyolcadik a másodikkal, ezért innentől hatosával ismétlődnek a számok. Mivel \(\displaystyle 2022=6 \cdot 337\), így a \(\displaystyle 2022.\) szám egyenlő a hatodikkal, azaz Boglárka a \(\displaystyle \displaystyle{\frac{10}{11}}\)-et írta le utoljára.

Statisztika:

71 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	55 versenyző.
4 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2022. májusi matematika feladatai