A C. 1723. feladat (2022. május)

C. 1723. Határozzuk meg mindazon, csupa különböző számjegyből álló, legfeljebb négyjegyű \(\displaystyle \overline{abcd}\) számokat (ahol \(\displaystyle a=0\) is megengedett), amelyekre \(\displaystyle 9\cdot\overline{abcd}= \overline{acbcd}\).

Javasolta: Siposs András (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A feladat feltételei miatt \(\displaystyle a, b, c, d\) különböző elemei a \(\displaystyle \{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 \} \) halmaznak, amelyekre teljesül, hogy

\(\displaystyle 9\cdot (1000a + 100b + 10 c+ d)= 10\,000a + 1000c + 100b + 10c + d.\)

Ekvivalens átalakítások után a

egyenlethez jutunk, amelynek bal oldala osztható \(\displaystyle 25\)-tel, ezért a jobb oldalnak is oszthatónak kell lennie \(\displaystyle 25\)-tel. Mivel \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) számjegyek, ezért \(\displaystyle 0\leq 10c+d \leq 99\), és \(\displaystyle 25 \mid (10c + d)\), ezért \(\displaystyle 10c +d\) lehetséges értékei (\(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 25\), \(\displaystyle 50\) és \(\displaystyle 75\)) alapján négy esetet vizsgálunk meg.

1. eset Ha \(\displaystyle 10c +d=0\), akkor \(\displaystyle c=d=0\), amely nem megoldása a feladatnak, hiszen az \(\displaystyle \overline{abcd}\) szám utolsó két számjegye megegyezne.

2. eset Ha \(\displaystyle 10c +d=25\), akkor \(\displaystyle c=2\) és \(\displaystyle d=5\), amely értékeket \(\displaystyle (1)\)-be helyettesítjük: \(\displaystyle 125a-100b=-225\), majd kifejezzük \(\displaystyle a\)-t és egyszerűsítünk:

\(\displaystyle a=\frac{4b-9}{5}=\frac{5b-10-b+1}{5}=b-2 -\frac{b-1}{5}.\)

Mivel \(\displaystyle a\) nemnegatív egész, ezért \(\displaystyle b\) nem lehet kisebb \(\displaystyle 2\)-nél, és \(\displaystyle (b-1)\)-nek oszthatónak kell lennie \(\displaystyle 5\)-tel, ezért az egyetlen lehetőség, hogy \(\displaystyle b=6\), ekkor \(\displaystyle a=3\). Így jó megoldást kapunk, hiszen a \(\displaystyle 3625\) számjegyei különbözőek és \(\displaystyle 9 \cdot 3625=32625\).

3. eset Ha \(\displaystyle 10c +d=50\), akkor \(\displaystyle c=5\) és \(\displaystyle d=0\), amelyből az előző esetben ismertetett módszerrel kapjuk, hogy

\(\displaystyle a=\frac{4b-23}{5}=b-4 -\frac{b+3}{5}.\)

Mivel \(\displaystyle a\) nemnegatív egész, ezért \(\displaystyle b\) nem lehet kisebb \(\displaystyle 4\)-nél, és \(\displaystyle (b+3)\) osztható \(\displaystyle 5\)-tel, amiből \(\displaystyle b=7\), így \(\displaystyle a=1\). Ebben az esetben is jó megoldást kapunk, hiszen az \(\displaystyle 1750\) számjegyei különbözőek és \(\displaystyle 9 \cdot 1750=15750\).

4. eset Ha \(\displaystyle 10c +d=75\), akkor \(\displaystyle c=7\) és \(\displaystyle d=5\), amelyből

\(\displaystyle a=\frac{4b-32}{5}=b-6 -\frac{b+2}{5}.\)

Mivel \(\displaystyle a\) nemnegatív egész, ezért \(\displaystyle b\) nem lehet kisebb \(\displaystyle 6\)-nál, és \(\displaystyle (b+2)\) osztható \(\displaystyle 5\)-tel, így \(\displaystyle b\) egyetlen lehetséges értéke a \(\displaystyle 8\), ebből következően \(\displaystyle a=0\), amely megengedett, így jó megoldást kapunk, hiszen a \(\displaystyle 875\) számjegyei különbözőek és \(\displaystyle 9 \cdot 875=7875\).

Több eset nincs, így a feladatnak \(\displaystyle 3\) megoldása van: \(\displaystyle 875; 1750\) és \(\displaystyle 3625\).

Statisztika:

91 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Baksa Anna, Baráth Borbála, Bettesch Emma Léda, Bettesch Helga Adél, Bukor Emőke Zsuzsanna, Demeter Flóra, Egyházi Hanna, Fehérvári Donát, Fekete Patrik, Fodor Dóra, Fórizs Emma, Görcsös Ákos Attila, Halász Henrik, Hetyei Dániel, Hochenburger Zoárd, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Josepovits Gábor, Juhos Bálint András, Keszthelyi Eszter, Körmöndi Márk, Kurucz Márton, Miszori Gergő, Nagy 292 Korina, Nagy Daniella, Pekk Márton, Petrányi Lilla, Princz-Jakovics Anna, Richlik Márton, Sándor Eszter, Schneider Dávid, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Márton, Somogyi Dóra, Sütő Áron, Szabó Zóra, Szalanics Tamás, Török Eszter Júlia, Waldhauser Miklós, Werner Kinga.
4 pontot kapott:	18 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2022. májusi matematika feladatai