 |
A C. 1725. feladat (2022. május) |
C. 1725. Legyen p pozitív prímszám. Tudjuk, hogy az x2−px−580p=0 egyenlet gyökei egész számok. Határozzuk meg p értékét.
Javasolta: Szalai Máté (Szeged)
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az x2−px−580p=0 egyenlet diszkriminánsa D=p2+2320p>0 minden p pozitív prímszám esetén, így az egyenletnek két különböző valós gyöke van, legyenek ezek a szokásos jelölést alkalmazva x1 és x2. A Viéte-formulák alapján a gyökök összege
x1+x2=p,
a gyökök szorzata pedig
x1⋅x2=−580p=−22⋅5⋅29⋅p.
Mivel a gyökök szorzatának prímtényezős felbontásában szerepel a p, ezért legalább az egyik gyök osztható p-vel, de ekkor a másik is osztható kell, hogy legyen p-vel, hiszen összegük p, ami nyilvánvalóan osztható p-vel. Ha mindkét gyök osztható p-vel, akkor szorzatukban a p kitevője legalább 2, így p szükségképpen a szorzatban szereplő prímek (2;5;29) valamelyikével egyenlő, ennek megfelelően 3 esetet tárgyalunk.
1. eset Ha p=2, akkor az x2−px−580p=0 egyenletbe behelyettesítve az értékét, az x2−2x−1160=0 egyenletet kell megoldanunk, amelynek megoldásai nem egész számok, így ebben az esetben nem kapunk jó megoldást.
2. eset Ha p=5, akkor az x2−5x−2900=0 egyenletet kapjuk, amelynek megoldásai nem egész számok, így ebben az esetben sem kapunk jó megoldást.
3. eset Ha p=29, akkor a megoldandó egyenlet az x2−29x−16820=0 alakot ölti, amelynek gyökei: x1=145 és x2=−116. Mindkét gyök egész szám, így ebben az esetben jó megoldást kapunk.
Több eset nincs, így p egyetlen lehetséges értéke, amely megfelel a feltételeknek a 29.
Statisztika:
73 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 51 versenyző. 4 pontot kapott: 7 versenyző. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2022. májusi matematika feladatai
|
|