 |
A C. 1725. feladat (2022. május) |
C. 1725. Legyen \(\displaystyle p\) pozitív prímszám. Tudjuk, hogy az \(\displaystyle x^2-px-580p=0\) egyenlet gyökei egész számok. Határozzuk meg \(\displaystyle p\) értékét.
Javasolta: Szalai Máté (Szeged)
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az \(\displaystyle x^2-px-580p=0\) egyenlet diszkriminánsa \(\displaystyle D=p^2+2320p>0\) minden \(\displaystyle p\) pozitív prímszám esetén, így az egyenletnek két különböző valós gyöke van, legyenek ezek a szokásos jelölést alkalmazva \(\displaystyle x_1\) és \(\displaystyle x_2\). A Viéte-formulák alapján a gyökök összege
\(\displaystyle x_1+x_2=p,\)
a gyökök szorzata pedig
\(\displaystyle x_1 \cdot x_2=-580p=-2^2 \cdot 5 \cdot 29 \cdot p.\)
Mivel a gyökök szorzatának prímtényezős felbontásában szerepel a \(\displaystyle p\), ezért legalább az egyik gyök osztható \(\displaystyle p\)-vel, de ekkor a másik is osztható kell, hogy legyen \(\displaystyle p\)-vel, hiszen összegük \(\displaystyle p\), ami nyilvánvalóan osztható \(\displaystyle p\)-vel. Ha mindkét gyök osztható \(\displaystyle p\)-vel, akkor szorzatukban a \(\displaystyle p\) kitevője legalább \(\displaystyle 2\), így \(\displaystyle p\) szükségképpen a szorzatban szereplő prímek (\(\displaystyle 2; 5; 29\)) valamelyikével egyenlő, ennek megfelelően \(\displaystyle 3\) esetet tárgyalunk.
1. eset Ha \(\displaystyle p=2\), akkor az \(\displaystyle x^2-px-580p=0\) egyenletbe behelyettesítve az értékét, az \(\displaystyle x^2-2x-1160=0\) egyenletet kell megoldanunk, amelynek megoldásai nem egész számok, így ebben az esetben nem kapunk jó megoldást.
2. eset Ha \(\displaystyle p=5\), akkor az \(\displaystyle x^2-5x-2900=0\) egyenletet kapjuk, amelynek megoldásai nem egész számok, így ebben az esetben sem kapunk jó megoldást.
3. eset Ha \(\displaystyle p=29\), akkor a megoldandó egyenlet az \(\displaystyle x^2-29x-16820=0\) alakot ölti, amelynek gyökei: \(\displaystyle x_1=145\) és \(\displaystyle x_2=-116\). Mindkét gyök egész szám, így ebben az esetben jó megoldást kapunk.
Több eset nincs, így \(\displaystyle p\) egyetlen lehetséges értéke, amely megfelel a feltételeknek a \(\displaystyle 29\).
Statisztika:
73 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 51 versenyző. 4 pontot kapott: 7 versenyző. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2022. májusi matematika feladatai