A C. 1726. feladat (2022. május)

C. 1726. Mutassuk meg, hogy ha $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$ olyan valós számok, amelyekre

$\displaystyle \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1, \quad\text{akkor}\quad \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=0.$

Adjunk meg a feltételt teljesítő valós számokat.

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Célszerű lenne a feltételben szereplő egyenlet mindkét oldalát beszorozni $\displaystyle (x+y+z)$-vel, ez azonban csakis akkor ekvivalens átalakítás, ha $\displaystyle x+y+z \neq 0$. Ezt indirekt módon könnyen megmutathatjuk.
Tegyük fel, hogy $\displaystyle x+y+z=0$, ebből egyrészt $\displaystyle x+y=-z$, másrészt $\displaystyle x+z=-y$, harmadrészt pedig $\displaystyle y+z=-x$ következik. Az előzőek alapján a feladat feltételében lévő egyenlet bal oldalának értéke: $\displaystyle \displaystyle{\frac{x}{-x}+\frac{y}{-y}+\frac{z}{-z}=-1+(-1) +(-1)=-3}$, ami ellentmondás, így beláttuk, hogy $\displaystyle x+y+z \neq 0$.
Ha az $\displaystyle \displaystyle{\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1}$ egyenlet mindkét oldalát beszorozzuk $\displaystyle x+y+z$-vel, akkor ekvivalens egyenlethez jutunk:

$\displaystyle \frac{x^2+x(y+z)}{y+z}+\frac{y^2+y(x+z)}{z+x}+\frac{z^2+z(x+y)}{x+y}=x+y+z,$

amelynek bal oldalát egyszerűsítve azt kapjuk, hogy

$\displaystyle \frac{x^2}{y+z}+x+\frac{y^2}{z+x}+y+\frac{z^2}{x+y}+z=x+y+z.$

Vonjunk ki mindkét oldalból $\displaystyle (x+y+z)$-t, így az

$\displaystyle \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=0$

egyenlethez jutunk, ami éppen a feladat állítása.
Most már csak annyi a dolgunk, hogy megfelelő $\displaystyle x,y,z$ valós számokat találjunk. Legyen például $\displaystyle z=1$ és mondjuk $\displaystyle x+y=-\frac{1}{5}$, ekkor $\displaystyle y=-\frac{1}{5}-x$. A feladatban szereplő feltétel egyenletébe a kiválasztott értékeket behelyettesítve az

$\displaystyle \frac{x}{\frac{4}{5}-x}+\frac{-\frac{1}{5}-x}{1+x}+\frac{1}{-\frac{1}{5}}=1$

egyenletet kapjuk, amelyből ekvivalens átalakítások után: $\displaystyle 50x^2+10x-31=0$. E másodfokú egyenlet két valós megoldása: $\displaystyle \displaystyle{x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{63}}{10}}$. Nekünk elég az egyik, $\displaystyle \displaystyle{x=\frac{-1+{\sqrt{63}}}{10}}$ esetén $\displaystyle \displaystyle{ y=-\frac{1}{5}-x=\frac{-1-{\sqrt{63}}}{10}}$, a $\displaystyle z=1$-et pedig már az elején kiválasztottuk.

A feladat állítását beláttuk és megmutattuk, hogy például a $\displaystyle \displaystyle{\frac{-1+{\sqrt{63}}}{10}}$, a $\displaystyle \displaystyle{ \frac{-1-{\sqrt{63}}}{10}}$ és az $\displaystyle 1$ valós számok teljesítik a feltételeket.

Statisztika:

21 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Cynolter Dorottya, Horváth Milán, Sipeki Márton.
4 pontot kapott:	Keszthelyi Eszter, Nagy Daniella, Szabó Zóra, Szalanics Tamás, Werner Kinga.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2022. májusi matematika feladatai