 |
A C. 1727. feladat (2022. május) |
C. 1727. Fúrjunk át egy R sugarú tömör gömböt egy, a gömb középpontján átmenő egyenes mentén egy r sugarú hengeres fúróval, ahol r<R. Fejezzük ki a keletkezett maradéktest térfogatát a maradéktest m magasságának függvényében.
Javasolta: Szabó Bertalan (Miskolc, 1986)
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Messük el a gömböt a gömb O középpontján átmenő olyan síkkal, amely a henger t-vel jelölt tengelyét tartalmazza. Ez a sík a gömbből kimetszi a 2R átmérőjű kört, a hengerből pedig az ABCD téglalapot. Az ABCD téglalap oldalaira AB=CD=2r és BC=DA=m teljesül. Tekintsük az alábbi ábrát.
A gömbnek a feladatban leírt átfúrása után a gömbből hiányozni fog egyrészt az a két gömbsüveg, amelyek alaplapja az AB, illetve CD átmérőjű kör, magassága pedig h=R−m2, másrészt pedig a henger, amelynek alapköre r sugarú, magassága m. A gömb térfogata Vg=4R3⋅π3, a henger térfogata Vh=r2⋅π⋅m, az R sugarú gömbből levágott és r sugarú alapkörrel rendelkező, h magasságú gömbsüveg térfogata Vs=π⋅h2⋅(3R−h)3.
A gömb átfúrása után keletkező maradéktest térfogata
Vm=Vg−2Vs−Vh,
azaz
| (1) | Vm=4R3⋅π3−2π⋅h2⋅(3R−h)3−r2⋅π⋅m. |
Az (1) egyenlet jobb oldalán kiemeljük a π3 tényezőt és beírjuk a h=R−m2 összefüggést:
Vm=π3⋅[4R3−2(R−m2)2⋅(2R+m2)−3r2⋅m].
A műveletek elvégzése és rendezés után azt kapjuk, hogy
| (2) | Vm=π3⋅[3R2m−m34−3r2m]. |
Írjuk fel most az ábra OEB derékszögű háromszögére a Pitagorasz-tételt, eszerint r2+m24=R2, ezt a (2) egyenletbe helyettesítve a műveletek elvégzése és egyszerűsítés után adódik, hogy
Vm=π⋅m36,
ezzel megadtuk a maradéktest térfogatát az m magasságának függvényében.
Statisztika:
22 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Cynolter Dorottya, Horváth Milán, Keszthelyi Eszter, Kurucz Márton, Nagy Daniella, Pekk Márton, Szabó Réka, Szalanics Tamás, Waldhauser Miklós, Werner Kinga. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 7 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2022. májusi matematika feladatai
|
|