 |
A C. 1728. feladat (2022. szeptember) |
C. 1728. Határozzuk meg a
−16x+12={x}
egyenlet megoldásainak pontos értékét.
({x} az x törtrésze, vagyis az x-nek és x-nél nem nagyobb egészek legnagyobbikának különbsége.)
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Közös koordináta-rendszerben ábrázoljuk az f(x)=−16x+12 és a g(x)={x} függvényt (lásd ábra).
A két függvény grafikonjának 7 közös pontja van, ezért az egyenletnek 7 megoldása van, amelyek pontos értékét az alábbiak szerint határozzuk meg. A törtrész függvény szigorúan monoton növekvő darabkái éppen az m=1 meredekségű, az y-tengelyt b∈Z-ben metsző lineáris függvények megfelelő leszűkítései. Esetünkben a metszéspontok ott találhatóak, ahol 0≤f(x)<1. Ez −3≤b≤3-ra teljesül, így a következő paraméteres egyenletet kell megoldanunk:
−16x+12=x+b,
ebből rendezés után az
x=3−6b7
megoldást kapjuk, amelybe behelyettesítjük a megfelelő b értékeket.
Ha b=3, akkor x1=3−187=−157.
Ha b=2, akkor x2=−97.
Ha b=1, akkor x3=−37.
Ha b=0, akkor x4=37.
Ha b=−1, akkor x5=97.
Ha b=−2, akkor x6=157.
Ha b=−3, akkor x7=217=3.
A megoldások helyességéről behelyettesítéssel győződhetünk meg.
Megjegyzés. A feladatnak a függvények ábrázolása után geometriai, illetve koordináta-geometriai értelmezést is adhatunk. Tekintsük az alábbi ábrán látható ABC háromszöget. Az egyenlet megoldásai azon pontok első koordinátái, amelyek az f(x) és g(x) függvények grafikonjainak metszéspontjai. Ezek az ábrán a P,Q,R,S,T,U,B pontok. A C pont nem tartozik hozzá a g(x) függvény grafikonjához, így x=−3 nyilván nem megoldás.
A háromszög AB oldalát a szakaszra eső belső rácspontok 7 egyenlő részre osztják, továbbá a g(x)={x} függvény grafikonjának egyes darabjai egymással párhuzamos egyenesekre illeszkednek, ezért a párhuzamos szelők tételéből az következik, hogy a P,Q,R,S,T,U pontok a BC szakasz hetedelőpontjai. Ez azt is jelenti, hogy a B,C pontok koordinátáinak ismeretében a P,Q,R,S,T,U pontok első koordinátái meghatározhatók.
Ezek a következők:
xP=6⋅(−3)+37=−157,
xQ=5⋅(−3)+2⋅37=−97,
xR=4⋅(−3)+3⋅37=−37,
xS=3⋅(−3)+4⋅37=37,
xT=2⋅(−3)+5⋅37=97,
xU=1⋅(−3)+6⋅37=157,
ezek éppen a feladat megoldásában kapott értékek.
Nyilvánvaló, hogy a B pont első koordinátája, azaz x=3 is megfelel az egyenletnek, így összesen valóban 7 megoldása van a feladatnak.
Statisztika:
236 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 108 versenyző. 4 pontot kapott: 16 versenyző. 3 pontot kapott: 14 versenyző. 2 pontot kapott: 13 versenyző. 1 pontot kapott: 10 versenyző. 0 pontot kapott: 33 versenyző. Nem versenyszerű: 24 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 3 dolgozat.
A KöMaL 2022. szeptemberi matematika feladatai
|
|