Problem C. 1731. (September 2022)

C. 1731. The parallel sides of a trapezium $\displaystyle ABCD$ are $\displaystyle AB>CD$. The midline of the trapezium intersects diagonal $\displaystyle AC$ at $\displaystyle E$ and diagonal $\displaystyle BD$ at $\displaystyle F$. The length of line segment $\displaystyle CD$ is the

$\displaystyle a)$ arithmetic

$\displaystyle b)$ geometric mean of line segments $\displaystyle AB$ and $\displaystyle EF$.

In which of the two cases will the ratio $\displaystyle \dfrac{AB}{CD}$ have a larger value?

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a trapéz $\displaystyle AD$, illetve $\displaystyle BC$ szárának felezőpontja $\displaystyle G$, illetve $\displaystyle H$ és jelöljük az $\displaystyle EF$ szakasz hosszát $\displaystyle \displaystyle{s}$-sel az alábbi ábra szerint.

A $\displaystyle GH$ középvonal egyrészt párhuzamos az $\displaystyle AB=a$ és a $\displaystyle CD=c$ alapokkal, másrészt felezi az $\displaystyle AC$ és $\displaystyle BD$ átlókat az $\displaystyle E$, illetve $\displaystyle F$ pontban. Eszerint $\displaystyle GE$ az $\displaystyle ACD$, míg $\displaystyle HF$ a $\displaystyle BCD$ háromszög középvonala. A háromszög középvonalának tulajdonsága alapján tehát

Ugyanakkor $\displaystyle EH$ az $\displaystyle ABC$ háromszög középvonala, hasonlóképpen $\displaystyle GF$ az $\displaystyle ABD$ háromszög középvonala, ezért $\displaystyle \displaystyle{EH=GF=\frac{a}{2}}$ és így (1) felhasználásával kapjuk, hogy

Ha a $\displaystyle CD$ szakasz hossza az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle EF$ szakaszok hosszának számtani közepe, akkor $\displaystyle \displaystyle{c=\frac{a+\frac{a-c}{2}}{2}}$, amelyből a műveletek elvégzésével és rendezéssel adódik, hogy

Ha pedig a $\displaystyle CD$ szakasz hossza az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle EF$ szakaszok hosszának mértani közepe, akkor $\displaystyle \displaystyle{c=\sqrt{a\cdot{\frac{a-c}{2}}}}$, ahonnan négyzetreemeléssel és rendezéssel a $\displaystyle 2c^2=a^2-ac$ egyenletet kapjuk.

Az egyenlet mindkét oldalát oszthatjuk $\displaystyle c^2$-tel, ebből a $\displaystyle \displaystyle{x=\frac{a}{c}}$ jelölést alkalmazva az $\displaystyle x^2-x-2=0$ másodfokú egyenletet kapjuk. Ennek megoldásai $\displaystyle x_1=2$ és $\displaystyle x_2=-1$.

A feltételeknek nyilván csak az első megoldás felelhet meg, ezért a b) esetben

A (3), illetve (4) eredmények alapján tehát az $\displaystyle \displaystyle{\frac{AB}{CD}}$ arány értéke akkor lesz a nagyobb, ha a $\displaystyle CD$ szakasz hossza az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle EF$ szakaszok hosszának mértani közepe.

Megjegyzés. A feladat értelmetlenné válna, ha az $\displaystyle E$ és az $\displaystyle F$ pont azonos lenne. Könnyen látható, hogy ekkor a trapéz paralelogramma, $\displaystyle s=0$ és $\displaystyle a=c$, így a számtani közép $\displaystyle \displaystyle{\frac {a}{2}}$, a mértani közép pedig 0, és egyik sem lehet $\displaystyle c$-vel egyenlő.

Statistics:

58 students sent a solution.
5 points:	Angyal Fanni Zsófia, Antal László, Bilicki Vilmos, Duzmath Brigitta, Hajós Balázs, Halász Henrik, Hochenburger Zoárd, Hosszu Noel, Magyar Gábor Balázs, Pacsay-Tomassich Vince, Pekk Márton, Perényi Lídia , Petró Péter, Prikler Dorka Abigél, Sarkadi Sándor, Schneider Dávid, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Márton, Szabó Viktória Ildikó .
4 points:	Dancsák Dénes, Keszthelyi Eszter, Lele-Nagy Krisztián, Ruzsa Bence Márk, Szittyai Anna.
1 point:	1 student.
0 point:	23 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2022