A C. 1734. feladat (2022. október)

C. 1734. Az $\displaystyle AB$ átmérőjű $\displaystyle k$ kör középpontja $\displaystyle O$. Megrajzoljuk az $\displaystyle OB$ átmérőjű $\displaystyle k_1$ kört, illetve a $\displaystyle k_1$ kört $\displaystyle C$ pontban érintő, $\displaystyle AB$-vel párhuzamos egyenest, amely a $\displaystyle k$ kört a $\displaystyle D_1$ és $\displaystyle D_2$ pontokban metszi. Határozzuk meg a $\displaystyle COD_1\sphericalangle$ és $\displaystyle COD_2\sphericalangle$ szögek nagyságának pontos értékét.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tekintsük a következő ábrát, amelyen a $\displaystyle D_1$, illetve $\displaystyle D_2$ pontoknak az $\displaystyle AB$ szakaszra eső merőleges vetületét $\displaystyle E_1$-gyel, illetve $\displaystyle E_2$-vel, a $\displaystyle k_1$ kör középpontját $\displaystyle K$-val, a $\displaystyle k$ kör sugarát pedig $\displaystyle R$-rel jelöltük.

Mivel a $\displaystyle D_1D_2$ egyenes érinti a $\displaystyle k_1$ kört, ezért $\displaystyle KC$ merőleges $\displaystyle D_1D_2$-re, így $\displaystyle KC$ merőleges az $\displaystyle AB$ egyenesre is. Nyilvánvaló, hogy $\displaystyle \displaystyle{KC=KO=KB=\frac{R}{2}}$, emiatt $\displaystyle OCK$ egyenlő szárú derékszögű háromszög, ebből $\displaystyle KOC\sphericalangle=45^{\circ}$ következik.

Ugyanakkor $\displaystyle D_1D_2\parallel{AB}$ miatt $\displaystyle \displaystyle{KC=E_1D_1=\frac{R}{2}}$, és mivel $\displaystyle OD_1=R$, ezért $\displaystyle OD_1E_1$ egy szabályos háromszög fele, ezért $\displaystyle \displaystyle{E_1OD_1\sphericalangle=30^{\circ}}$.

Ez azt jelenti, hogy az egyik keresett szögre $\displaystyle \displaystyle{\alpha=COD_1\sphericalangle=45^{\circ}-30^{\circ}=15^{\circ}}$.

Az $\displaystyle OD_1=OD_2=R$ és $\displaystyle \displaystyle{E_1D_1=E_2D_2=\frac{R}{2}}$ egyenlőségek szerint az $\displaystyle OD_2E_2$ és $\displaystyle OD_1E_1$ háromszögekben két-két megfelelő oldal egyenlő hosszú, továbbá a hosszabbik oldallal szemben mindkét háromszögben derékszög van, vagyis ezek egybevágó derékszögű háromszögek és így $\displaystyle \displaystyle{E_2OD_2\sphericalangle=30^{\circ}}$.

Ezzel megkapjuk a másik keresett szöget: $\displaystyle \beta=\displaystyle{COD_2\sphericalangle=180^{\circ}-2\cdot30^{\circ}-\alpha=105^{\circ}}$.

Statisztika:

209 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	96 versenyző.
4 pontot kapott:	31 versenyző.
3 pontot kapott:	21 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	22 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	3 dolgozat.

A KöMaL 2022. októberi matematika feladatai