A C. 1734. feladat (2022. október)

C. 1734. Az \(\displaystyle AB\) átmérőjű \(\displaystyle k\) kör középpontja \(\displaystyle O\). Megrajzoljuk az \(\displaystyle OB\) átmérőjű \(\displaystyle k_1\) kört, illetve a \(\displaystyle k_1\) kört \(\displaystyle C\) pontban érintő, \(\displaystyle AB\)-vel párhuzamos egyenest, amely a \(\displaystyle k\) kört a \(\displaystyle D_1\) és \(\displaystyle D_2\) pontokban metszi. Határozzuk meg a \(\displaystyle COD_1\sphericalangle\) és \(\displaystyle COD_2\sphericalangle\) szögek nagyságának pontos értékét.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tekintsük a következő ábrát, amelyen a \(\displaystyle D_1\), illetve \(\displaystyle D_2\) pontoknak az \(\displaystyle AB\) szakaszra eső merőleges vetületét \(\displaystyle E_1\)-gyel, illetve \(\displaystyle E_2\)-vel, a \(\displaystyle k_1\) kör középpontját \(\displaystyle K\)-val, a \(\displaystyle k\) kör sugarát pedig \(\displaystyle R\)-rel jelöltük.

Mivel a \(\displaystyle D_1D_2\) egyenes érinti a \(\displaystyle k_1\) kört, ezért \(\displaystyle KC\) merőleges \(\displaystyle D_1D_2\)-re, így \(\displaystyle KC\) merőleges az \(\displaystyle AB\) egyenesre is. Nyilvánvaló, hogy \(\displaystyle \displaystyle{KC=KO=KB=\frac{R}{2}}\), emiatt \(\displaystyle OCK\) egyenlő szárú derékszögű háromszög, ebből \(\displaystyle KOC\sphericalangle=45^{\circ}\) következik.

Ugyanakkor \(\displaystyle D_1D_2\parallel{AB}\) miatt \(\displaystyle \displaystyle{KC=E_1D_1=\frac{R}{2}}\), és mivel \(\displaystyle OD_1=R\), ezért \(\displaystyle OD_1E_1\) egy szabályos háromszög fele, ezért \(\displaystyle \displaystyle{E_1OD_1\sphericalangle=30^{\circ}}\).

Ez azt jelenti, hogy az egyik keresett szögre \(\displaystyle \displaystyle{\alpha=COD_1\sphericalangle=45^{\circ}-30^{\circ}=15^{\circ}}\).

Az \(\displaystyle OD_1=OD_2=R\) és \(\displaystyle \displaystyle{E_1D_1=E_2D_2=\frac{R}{2}}\) egyenlőségek szerint az \(\displaystyle OD_2E_2\) és \(\displaystyle OD_1E_1\) háromszögekben két-két megfelelő oldal egyenlő hosszú, továbbá a hosszabbik oldallal szemben mindkét háromszögben derékszög van, vagyis ezek egybevágó derékszögű háromszögek és így \(\displaystyle \displaystyle{E_2OD_2\sphericalangle=30^{\circ}}\).

Ezzel megkapjuk a másik keresett szöget: \(\displaystyle \beta=\displaystyle{COD_2\sphericalangle=180^{\circ}-2\cdot30^{\circ}-\alpha=105^{\circ}}\).

Statisztika:

209 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	96 versenyző.
4 pontot kapott:	31 versenyző.
3 pontot kapott:	21 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	22 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	3 dolgozat.

A KöMaL 2022. októberi matematika feladatai