 |
A C. 1736. feladat (2022. október) |
C. 1736. Az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma \(\displaystyle CD\) oldalán felvesszük a \(\displaystyle P\) belső pontot, a \(\displaystyle CD\)-vel párhuzamos \(\displaystyle AB\) oldalon a \(\displaystyle Q\) belső pontot. A \(\displaystyle PA\) és \(\displaystyle QD\) szakaszok metszéspontja \(\displaystyle M\), a \(\displaystyle PB\) és \(\displaystyle QC\) szakaszok metszéspontja \(\displaystyle N\).
Határozzuk meg annak a feltételét, hogy \(\displaystyle MN\parallel AB\).
(Amerikai versenyfeladat ötletéből)
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) oldalának hossza \(\displaystyle a\), valamint legyen \(\displaystyle PD=x\), illetve \(\displaystyle QA=y\), ezzel \(\displaystyle PC=a-x\), illetve \(\displaystyle QB=a-y\).
A feltételekből következik, hogy az \(\displaystyle ABP\) háromszög és az \(\displaystyle AP\), illetve \(\displaystyle BP\) oldalakat metsző \(\displaystyle MN\) egyenes mindig létrejön.
Az \(\displaystyle MN\) egyenes akkor és csak akkor párhuzamos \(\displaystyle AB\)-vel, ha teljesül, hogy
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{\frac{PM}{PA}=\frac{PN}{PB}}.\) |
Ha ugyanis fennáll (1), akkor a párhuzamos szelők tételének megfordításából következik, hogy \(\displaystyle MN\parallel{AB}\), ha pedig \(\displaystyle MN\parallel{AB}\), akkor a párhuzamos szelők tétele miatt teljesül az (1) egyenlőség.
Elegendő az (1) összefüggés helyett tanulmányozni a
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \displaystyle{\frac{PM}{MA}=\frac{PN}{NB}}\) |
egyenlőséget, mert \(\displaystyle PA=PM+MA\), illetve \(\displaystyle PB=PN+NB\) felhasználásával egyszerűen belátható, hogy (1) és (2) ekvivalensek.
Nyilvánvaló, hogy \(\displaystyle AQPD\) és \(\displaystyle CPQB\) trapézok, átlóik metszéspontjai éppen \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\).
Ismeretes, hogy a trapézok átlóinak metszéspontja az átlókat a párhuzamos oldalak arányában osztja, ezért az \(\displaystyle AQPD\) trapézban \(\displaystyle \displaystyle{\frac{PM}{MA}=\frac{x}{y}}\), a \(\displaystyle CPQB\) trapézban pedig \(\displaystyle \displaystyle{\frac{PN}{NB}=\frac{a-x}{a-y}}\).
Eszerint (2) pontosan akkor teljesül, ha
\(\displaystyle \displaystyle{\frac{x}{y}=\frac{a-x}{a-y}},\)
amelyből egyszerű átalakításokkal azt kapjuk, hogy \(\displaystyle x=y\).
Eszerint \(\displaystyle MN\parallel{AB}\) akkor és csak akkor áll fenn, ha a \(\displaystyle PD\) és \(\displaystyle AQ\) szakaszok hossza egyenlő, ekkor természetesen \(\displaystyle PC=BQ\) is igaz.
Eredményünk azt is jelenti, hogy ebben az esetben az \(\displaystyle AQPD\) és \(\displaystyle CPQB\) négyszögek paralelogrammák.
Megjegyzés. Az, hogy a trapéz átlóinak metszéspontja az átlókat a párhuzamos oldalak arányában osztja, a Geometriai feladatgyűjtemény I. kötetének 1233. számú feladata.
Statisztika:
51 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Baksa Anna, Berta Botond, Bezsilla Gábor, Dancsák Dénes, Göncző Emma, Hajós Balázs, Halász Henrik, Heltovics Lilla, Hüvös Gergely, Kéki Edit, Keszthelyi Eszter, Mészáros Anna Veronika, Pekk Márton, Prikler Dorka Abigél, Richlik Márton, Ruzsa Bence Márk, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szittyai Anna, Varga Dániel 829, Végh Lilian. 4 pontot kapott: Hosszu Noel, Sipeki Márton, Waldhauser Miklós. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem versenyszerű: 7 dolgozat.
A KöMaL 2022. októberi matematika feladatai