A C. 1737. feladat (2022. október)

C. 1737. Aladár a \(\displaystyle 32.\) születésnapjára kapott két kockát. Az egyik kocka lapjait \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 6\)-ig megszámozta, a másikra rendre a \(\displaystyle 0; 1; 2; 7; 8; 9\) számokat írta. Ezekkel a kockákkal \(\displaystyle 10\)-től kezdve éppen az életkoráig, azaz \(\displaystyle 32\)-ig bármelyik pozitív egész számot kirakhatja, de a \(\displaystyle 33\)-at már nem. Köbüki kockák helyett szabályos oktaédereket használt. Az oktaéderek lapjaira egy-egy számjegyet írt, így \(\displaystyle 10\)-től kezdve a saját – években mért – életkoráig az összes egész számot kirakta. Hány éves most Köbüki, ha ez egy év múlva már nem sikerülne?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először indirekt módon megmutatjuk, hogy \(\displaystyle 10\)-től \(\displaystyle 77\)-ig nem tudunk minden számot kirakni. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle 77\)-ig ki tudunk rakni minden számot, tehát a \(\displaystyle 11\)-et, a \(\displaystyle 22\)-t, a \(\displaystyle 33\)-at, a \(\displaystyle 44\)-et, az \(\displaystyle 55\)-öt, a \(\displaystyle 66\)-ot és a \(\displaystyle 77\)-et is. Ebből következően mindkét oktaéderen szerepelnie kell az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 7\) számjegyek mindegyikének, amelyek a nyolc-nyolc lapból hetet-hetet elfoglalnak. Az üresen maradt egy-egy lapra az eddig nem használt számjegyek, azaz a \(\displaystyle 0\), a \(\displaystyle 8\) és a \(\displaystyle 9\) közül legfeljebb \(\displaystyle 2\)-t tudunk beírni, így legalább az egyik biztosan nem szerepelne egyik oktaéderen sem, ezért a \(\displaystyle 18\), a \(\displaystyle 19\), és a \(\displaystyle 20\) közül legalább az egyiket nem tudnánk kirakni. Ezzel beláttuk, hogy \(\displaystyle 77\)-ig biztosan nem tudunk eljutni.

\(\displaystyle 76\)-ig viszont igen, ehhez az egyik oktaéderre \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 8\)-ig felírunk minden számjegyet. A másikra nyilván kell a \(\displaystyle 0\) és a \(\displaystyle 9\), a maradék \(\displaystyle 6\) üres lapra pedig a folytonosság biztosítása érdekében \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 6\)-ig kerülnek a számok.

Köbüki most \(\displaystyle 76\) éves.

Statisztika:

67 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Angyal Fanni Zsófia, Hosszu Noel, Keszthelyi Eszter, Lupkovics Lilla, Mészáros Anna Veronika, Molnár Kristóf, Nyíri Zsolt, Pekk Márton, Szittyai Anna, Varga Dániel 829, Waldhauser Miklós.
4 pontot kapott:	Baksa Anna, Bóta Bálint, Cseresznye Zalán, Göncző Emma, Hajós Balázs, Lajos Luca, Laskai Botond, Pál Benedek József , Papp 421 Dániel, Petró Péter, Richlik Márton, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szűcs 418 Botond, Varga 621 Emese , Végh Lilian.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	10 dolgozat.

A KöMaL 2022. októberi matematika feladatai