A C. 1737. feladat (2022. október)

C. 1737. Aladár a $\displaystyle 32.$ születésnapjára kapott két kockát. Az egyik kocka lapjait $\displaystyle 1$-től $\displaystyle 6$-ig megszámozta, a másikra rendre a $\displaystyle 0; 1; 2; 7; 8; 9$ számokat írta. Ezekkel a kockákkal $\displaystyle 10$-től kezdve éppen az életkoráig, azaz $\displaystyle 32$-ig bármelyik pozitív egész számot kirakhatja, de a $\displaystyle 33$-at már nem. Köbüki kockák helyett szabályos oktaédereket használt. Az oktaéderek lapjaira egy-egy számjegyet írt, így $\displaystyle 10$-től kezdve a saját – években mért – életkoráig az összes egész számot kirakta. Hány éves most Köbüki, ha ez egy év múlva már nem sikerülne?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először indirekt módon megmutatjuk, hogy $\displaystyle 10$-től $\displaystyle 77$-ig nem tudunk minden számot kirakni. Tegyük fel, hogy $\displaystyle 77$-ig ki tudunk rakni minden számot, tehát a $\displaystyle 11$-et, a $\displaystyle 22$-t, a $\displaystyle 33$-at, a $\displaystyle 44$-et, az $\displaystyle 55$-öt, a $\displaystyle 66$-ot és a $\displaystyle 77$-et is. Ebből következően mindkét oktaéderen szerepelnie kell az $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 3$, $\displaystyle 4$, $\displaystyle 5$, $\displaystyle 6$, $\displaystyle 7$ számjegyek mindegyikének, amelyek a nyolc-nyolc lapból hetet-hetet elfoglalnak. Az üresen maradt egy-egy lapra az eddig nem használt számjegyek, azaz a $\displaystyle 0$, a $\displaystyle 8$ és a $\displaystyle 9$ közül legfeljebb $\displaystyle 2$-t tudunk beírni, így legalább az egyik biztosan nem szerepelne egyik oktaéderen sem, ezért a $\displaystyle 18$, a $\displaystyle 19$, és a $\displaystyle 20$ közül legalább az egyiket nem tudnánk kirakni. Ezzel beláttuk, hogy $\displaystyle 77$-ig biztosan nem tudunk eljutni.

$\displaystyle 76$-ig viszont igen, ehhez az egyik oktaéderre $\displaystyle 1$-től $\displaystyle 8$-ig felírunk minden számjegyet. A másikra nyilván kell a $\displaystyle 0$ és a $\displaystyle 9$, a maradék $\displaystyle 6$ üres lapra pedig a folytonosság biztosítása érdekében $\displaystyle 1$-től $\displaystyle 6$-ig kerülnek a számok.

Köbüki most $\displaystyle 76$ éves.

Statisztika:

67 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Angyal Fanni Zsófia, Hosszu Noel, Keszthelyi Eszter, Lupkovics Lilla, Mészáros Anna Veronika, Molnár Kristóf, Nyíri Zsolt, Pekk Márton, Szittyai Anna, Varga Dániel 829, Waldhauser Miklós.
4 pontot kapott:	Baksa Anna, Bóta Bálint, Cseresznye Zalán, Göncző Emma, Hajós Balázs, Lajos Luca, Laskai Botond, Pál Benedek József , Papp 421 Dániel, Petró Péter, Richlik Márton, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szűcs 418 Botond, Varga 621 Emese , Végh Lilian.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	10 dolgozat.

A KöMaL 2022. októberi matematika feladatai