A C. 1739. feladat (2022. november)

C. 1739. A valós számok halmazának lehető legbővebb részhalmazán értelmezzük a következő függvényeket: \(\displaystyle f(x)=\sqrt{x+5}\,\), \(\displaystyle g(x)=\frac{-2x+8}{5}\) és \(\displaystyle h(x)=[x+3]\). Határozzuk meg a három függvénygrafikon közös pontjainak koordinátáit (\(\displaystyle [a]\) az \(\displaystyle a\) valós szám egészrészét jelenti, vagyis azt a legnagyobb egész számot, amely nem nagyobb \(\displaystyle a\)-nál).

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. december 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha a függvénygrafikonoknak van közös pontja, amelynek első koordinátája \(\displaystyle x\), akkor arra teljesül, hogy \(\displaystyle f(x)=g(x)=h(x)\). Először megoldjuk az \(\displaystyle f(x)=g(x)\) egyenletet. Négyzetre emelés és rendezés után a \(\displaystyle 4x^2-57x-61=0\) másodfokú egyenletet kapjuk, amelynek gyökei \(\displaystyle x_1=15,\!25\) és \(\displaystyle x_2=-1\). Ellenőrizzük a megoldásokat, hiszen a négyzetre emelés nem ekvivalens átalakítás, ekkor látjuk, hogy az \(\displaystyle x_1=15,\!25\) hamis gyök, hiszen \(\displaystyle 4,\!5 \neq -4,\!5\). A másik megoldás megfelelő, hiszen \(\displaystyle f(-1)=g(-1)=2\), ami azt jelenti hogy az \(\displaystyle f(x)\) és a \(\displaystyle g(x)\) függvény grafikonjának a \(\displaystyle (-1; 2)\) pont az egyetlen közös pontja. Számítással meghatározzuk, hogy ez a pont illeszkedik-e a \(\displaystyle h(x)\) függvény grafikonjára: \(\displaystyle h(-1)=[-1+3]=[2]=2\). Mivel \(\displaystyle f(-1)=g(-1)=h(-1)=2\), ezért a \(\displaystyle (-1; 2)\) koordinátájú pont mindhárom függvénygrafikonra illeszkedik, más közös pont pedig nincsen, hiszen megmutattuk, hogy az \(\displaystyle f\) és a \(\displaystyle g\) függvénynek pontosan egy közös pontja van.

Statisztika:

245 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	92 versenyző.
4 pontot kapott:	43 versenyző.
3 pontot kapott:	41 versenyző.
2 pontot kapott:	23 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	12 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2022. novemberi matematika feladatai