A C. 1741. feladat (2022. november)

C. 1741. Az $\displaystyle ABCD$ konvex négyszög $\displaystyle AC$ és $\displaystyle BD$ átlóinak metszéspontja $\displaystyle M$. Lehetséges-e, hogy az $\displaystyle ABM$, $\displaystyle BCM$, $\displaystyle CDM$, $\displaystyle DAM$ háromszögek területe ebben a sorrendben egy

$\displaystyle a)$ nemkonstans számtani sorozat,

$\displaystyle b)$ nemkonstans mértani sorozat
közvetlen egymás utáni négy tagja?

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. december 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük az $\displaystyle ABM$, $\displaystyle BCM$, $\displaystyle CDM$, $\displaystyle DAM$ háromszög területét rendre $\displaystyle T_1$, $\displaystyle T_2$, $\displaystyle T_3$, $\displaystyle T_4$-gyel. Először bizonyítani fogjuk, hogy az $\displaystyle ABM$ és $\displaystyle CDM$ háromszögek területének szorzata megegyezik a $\displaystyle BCM$ és $\displaystyle DAM$ háromszögek területének szorzatával, azaz $\displaystyle \displaystyle{T_1\cdot{T_3}=T_2\cdot{T_4}}$.
A feltételeknek megfelelő ábrán megrajzoltuk az $\displaystyle ABC$ és $\displaystyle CDA$ háromszögek $\displaystyle B$, illetve $\displaystyle D$ csúcsához tartozó $\displaystyle BE$ és $\displaystyle DF$ magasságát.

Az $\displaystyle ABM$, illetve $\displaystyle BCM$ háromszögek $\displaystyle T_1$, illetve $\displaystyle T_2$ területére $\displaystyle \displaystyle{T_1=\frac{AM\cdot{BE}}{2}}$, illetve $\displaystyle \displaystyle{T_2=\frac{CM\cdot{BE}}{2}}$, ezért a két terület aránya

Hasonlóan egyszerű módon láthatjuk be a $\displaystyle DAM$ és $\displaystyle CDM$ háromszögeknek az $\displaystyle AM$, illetve $\displaystyle CM$ oldalak közös $\displaystyle DF$ magasságának segítségével, hogy

Az (1) és (2) egyenletek jobb oldalainak egyenlőségéből a bal oldalak egyenlősége nyilvánvalóan következik, ebből pedig

Tegyük fel, hogy a $\displaystyle T_1, T_2, T_3, T_4$ területek ebben a sorrendben egy nemkonstans számtani sorozat közvetlen egymás utáni tagjai. Ez akkor és csak akkor lehetséges, ha a számtani sorozat különbségét $\displaystyle d$-vel jelölve egyrészt $\displaystyle d\neq{0}$, másrészt

$\displaystyle \displaystyle{T_2=T_1+d,\quad{T_3=T_1+2d,}\quad {T_4=T_1+3d}}.$

Ebből a (3) összefüggés alapján azt kapjuk, hogy

$\displaystyle \displaystyle{T_1\cdot\big({T_1+2d}\big)=\big(T_1+d\big)\cdot\big({T_1+3d}\big)},$

amelyből a műveletek elvégzésével és rendezéssel

$\displaystyle 2T_1\cdot{d}+3d^2=0$

adódik. A kapott egyenlet bal oldalát szorzattá alakítjuk:

A (4) egyenlet szerint $\displaystyle d=0$ vagy $\displaystyle 2T_1+3d=0$ lehetséges.
Mivel $\displaystyle d\neq{0}$, ez azt jelenti, hogy a négy háromszög területe nem egyenlő.

Ezért csak $\displaystyle 2T_1+3d=0$ állhat fenn, azaz ekkor $\displaystyle \displaystyle{T_1=-\frac{3}{2}d}$, ez pedig csak úgy lehetséges, ha $\displaystyle d<0$, vagyis a $\displaystyle T_1, T_2, T_3, T_4$ számok egy csökkenő számtani sorozat egymás utáni tagjai. Ez azonban nem valósulhat meg, mert ebből $\displaystyle \displaystyle{d=-\frac{2}{3}T_1}$ következne, innen pedig $\displaystyle \displaystyle{T_3=-\frac{1}{3}T_1}$, illetve $\displaystyle T_4=-T_1$ adódna. Ez pedig nyilván nem lehetséges, mert a háromszögek területei pozitív számok.

A feladat $\displaystyle a)$ kérdésére tehát az a válasz, hogy az $\displaystyle ABM$, $\displaystyle BCM$, $\displaystyle CDM$, $\displaystyle DAM$ háromszögek területei ebben a sorrendben nem lehetnek egy nemkonstans számtani sorozat közvetlen egymás utáni tagjai.

Tegyük fel most, hogy a $\displaystyle T_1, T_2, T_3, T_4$ területek számértéke ebben a sorrendben egy nemkonstans mértani sorozat közvetlen egymás utáni tagjai.
Ez akkor és csakis akkor lehetséges, ha a területek nem egyenlők és a $\displaystyle T_2$ terület a $\displaystyle T_1$ és $\displaystyle T_3$ mértani közepe, a $\displaystyle T_3$ terület pedig a $\displaystyle T_2$ és $\displaystyle T_4$ mértani közepe, vagyis

$\displaystyle \displaystyle{T_2=\sqrt{T_1\cdot{T_3}},\quad T_3=\sqrt{T_2\cdot{T_4}}},$

ebből azonban (3) szerint az következik, hogy

A $\displaystyle T_2$ és $\displaystyle T_3$ számok egy mértani sorozat közvetlen egymás utáni tagjai, ezért (5) pontosan akkor valósulhat meg, ha a mértani sorozat $\displaystyle q$ hányadosára $\displaystyle q=1$ teljesül, azaz a mértani sorozat tagjai mind egyenlők.

Ez azonban a feltétel miatt nem lehetséges, így az $\displaystyle ABM$, $\displaystyle BCM$, $\displaystyle CDM$, $\displaystyle DAM$ háromszögek területei ebben a sorrendben egy nemkonstans mértani sorozat tagjai sem lehetnek.

A feladat mindkét részében nemleges választ kaptunk.

Megjegyzés. Ha megengednénk, hogy a feladatban szereplő sorozatok konstansok is lehetnek, akkor arra az eredményre jutnánk, hogy a $\displaystyle T_1, T_2, T_3, T_4$ területek számértéke mind számtani, mind mértani sorozat esetén egyenlő. Könnyen belátható, hogy ekkor az $\displaystyle ABCD$ négyszög csak paralelogramma lehet.

Statisztika:

32 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Baksa Anna, Bilicki Vilmos, Braun Zsófia, Fekete Patrik, Hajós Balázs, Halász Henrik, Kéki Edit, Keszthelyi Eszter, Laskai Botond, Mészáros Anna Veronika, Schneider Dávid, Sipeki Márton, Végh Lilian, Waldhauser Miklós.
4 pontot kapott:	Fiser 234 Boldizsár, Seprődi Barnabás Bendegúz, Tomesz László Gergő.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2022. novemberi matematika feladatai