A C. 1743. feladat (2022. december)

C. 1743. Mutassuk meg, hogy hét természetes szám között, amelyek egy $\displaystyle 30$ különbségű számtani sorozat egymás utáni tagjai, pontosan egy $\displaystyle 7$-tel osztható szám van.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a tagokat növekvő sorrendben $\displaystyle a_i$, $\displaystyle a_{i+1}$, $\displaystyle \ldots$, $\displaystyle a_{i+6}$-tal. Tegyük fel, hogy a sorozat legkisebb tagja $\displaystyle 7$-tel osztva $\displaystyle m$ maradékot ad, vagyis $\displaystyle a_i=7k+m$ alakú, ahol $\displaystyle k \in \mathbb{N}$, valamint $\displaystyle 0 \leq m \leq 6$ természetes szám. Ekkor a sorozat következő tagja:

$\displaystyle a_{i+1}=7k+m+30=7k+m+7 \cdot 4 +2= 7(k+4)+m+2$

alakú, azaz $\displaystyle 7$-tel osztva $\displaystyle m+2$ maradékot ad. Teljesen hasonlóan kapjuk meg a további tagokat:

$\displaystyle a_{i+2}=7(k+8)+m+4,$

$\displaystyle a_{i+3}=7(k+12)+m+6,$

$\displaystyle a_{i+4}=7(k+17)+m+1,$

$\displaystyle a_{i+5}=7(k+21)+m+3,$

$\displaystyle a_{i+6}=7(k+25)+m+5.$

Láthatjuk, hogy a hét szám $\displaystyle 7$-tel osztva hét különböző maradékot ad, így közülük pontosan egy osztható $\displaystyle 7$-tel.

Megjegyzés. Valójában ennél többet is beláttunk, hiszen megmutattuk, hogy $\displaystyle 7$-tel osztva bármely maradékot adó számból pontosan egy van közöttük.

Statisztika:

229 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	105 versenyző.
4 pontot kapott:	48 versenyző.
3 pontot kapott:	25 versenyző.
2 pontot kapott:	24 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	4 dolgozat.

A KöMaL 2022. decemberi matematika feladatai