A C. 1744. feladat (2022. december)

C. 1744. Az $\displaystyle ABC$ háromszögben $\displaystyle CAB\sphericalangle=45^{\circ}$ és $\displaystyle ABC\sphericalangle=60^{\circ}$. Az $\displaystyle AB$ szakasz egy pontja $\displaystyle D$. A $\displaystyle CAD$ háromszög körülírt köre áthalad az $\displaystyle ABC$ háromszög magasságpontján. Határozzuk meg az $\displaystyle \frac{AD}{BD}$ arány pontos értékét úgy, hogy a megoldás során nem használunk szögfüggvényeket.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a háromszög oldalait a szokásos módon, azaz $\displaystyle BC=a, CA=b, AB=c$.

Az $\displaystyle ABC$ háromszög harmadik szöge nyilván $\displaystyle BCA\sphericalangle=75^{\circ}$, tehát a háromszög minden szöge hegyesszög. Ebből az is következik, hogy a háromszög $\displaystyle M$ magasságpontja a háromszög belső pontja. Tekintsük a következő ábrát, amelyen az $\displaystyle A$ és $\displaystyle C$ pontból húzott magasságok talppontja $\displaystyle E$, illetve $\displaystyle F$.

A keresett $\displaystyle D$ pont csak az $\displaystyle AF$ szakasz belső pontja lehet, ellenkező esetben az $\displaystyle CAD$ háromszög $\displaystyle k$ körülírt körének az $\displaystyle M$ egy belső pontja lenne, így $\displaystyle k$ nem haladhatna át az $\displaystyle M$ magasságponton.

A $\displaystyle BEMF$ négyszög húrnégyszög, mert az $\displaystyle E$ és $\displaystyle F$ csúcsoknál levő belsző szögek derékszögek, így összegük $\displaystyle 180^{\circ}$. Ekkor

$\displaystyle EMF\sphericalangle=180^{\circ}-EBF\sphericalangle=120^{\circ}.$

Mivel $\displaystyle EMF\sphericalangle$ és $\displaystyle CMA\sphericalangle$ csúcsszögek, ezért $\displaystyle CMA\sphericalangle=120^{\circ}$ is teljesül.

A $\displaystyle k$ körre illeszkednek a $\displaystyle C$, $\displaystyle M$, $\displaystyle D$, $\displaystyle A$ pontok és a kerületi szögek tétele alapján a $\displaystyle D$ pontból a $\displaystyle CA=b$ húr ugyanakkora szögben látszik, mint az $\displaystyle M$ pontból, ezért $\displaystyle CDA\sphericalangle=120^{\circ}$, vagyis

Az (1) eredmény szerint a $\displaystyle CDB$ háromszög minden szöge $\displaystyle 60^{\circ}$-os, tehát ez a háromszög szabályos, és emiatt $\displaystyle BC=CD=DB=a$, vagyis $\displaystyle AD=c-a$. Ebből következik, hogy

A $\displaystyle CDB$ szabályos háromszög $\displaystyle CF$ magasságának hossza $\displaystyle \displaystyle{CF=\frac{a\sqrt{3}}{2}}$. Mivel a $\displaystyle CAF$ háromszög nyilvánvalóan egyenlő szárú derékszögű háromszög, ezért $\displaystyle \displaystyle{AF=\frac{a\sqrt{3}}{2}}$ is fennáll.

Ugyanakkor $\displaystyle AD+DF=AF$, azaz $\displaystyle \displaystyle{c-a+\frac{a}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}}$, ahonnan rendezés után azt kapjuk, hogy

$\displaystyle \displaystyle{c-a=\frac{a\cdot\big(\sqrt{3}-1\big)}{2}},$

ebből pedig $\displaystyle a$-val való osztás után

A (2) és (3) eredmény összevetésével kapjuk a feladat megoldását: a feltételek mellett az $\displaystyle AD$ és $\displaystyle BD$ szakaszok arányának pontos értéke

$\displaystyle \displaystyle{\frac{AD}{BD}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}}.$

Statisztika:

102 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	60 versenyző.
4 pontot kapott:	11 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2022. decemberi matematika feladatai