A C. 1749. feladat (2023. január)

C. 1749. Számítsuk ki \(\displaystyle \sqrt[\scriptsize 3]{K}\) pontos értékét, ha \(\displaystyle K\) a \(\displaystyle 2025\) összes pozitív osztójának a szorzata.

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A prímtényezős felbontás – \(\displaystyle 2025=3^4 \cdot 5^2\) – alapján a \(\displaystyle 2025\) pozitív osztóiban a \(\displaystyle 3\)-as prímtényező \(\displaystyle 5\)-féle hatványkitevőn szerepelhet (\(\displaystyle 0\)-tól \(\displaystyle 4\)-ig), az \(\displaystyle 5\) pedig \(\displaystyle 3\)-féle hatványkitevőn (\(\displaystyle 0\)-tól \(\displaystyle 2\)-ig), más prímtényező nincs, így \(\displaystyle 5 \cdot 3 = 15\) darab pozitív osztó van. Ha az összeset összeszorozzuk, akkor a hatványozás azonossága alapján az azonos alapú hatványok kitevői összeadódnak, így

\(\displaystyle K=3^{(0+1+2+3+4) \cdot 3} \cdot 5^{(0+1+2)\cdot 5}=3^{30} \cdot 5^{15},\)

ebből úgy vonunk köbgyököt, hogy a kitevőket elosztjuk \(\displaystyle 3\)-mal. A feladat megoldása:

\(\displaystyle \sqrt[3]{K}=3^{10} \cdot 5^5=59049 \cdot 3125= 184 \, 528 \, 125.\)

Statisztika:

215 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	152 versenyző.
4 pontot kapott:	14 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	12 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2023. januári matematika feladatai