A C. 1749. feladat (2023. január)

C. 1749. Számítsuk ki $\displaystyle \sqrt[\scriptsize 3]{K}$ pontos értékét, ha $\displaystyle K$ a $\displaystyle 2025$ összes pozitív osztójának a szorzata.

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A prímtényezős felbontás – $\displaystyle 2025=3^4 \cdot 5^2$ – alapján a $\displaystyle 2025$ pozitív osztóiban a $\displaystyle 3$-as prímtényező $\displaystyle 5$-féle hatványkitevőn szerepelhet ($\displaystyle 0$-tól $\displaystyle 4$-ig), az $\displaystyle 5$ pedig $\displaystyle 3$-féle hatványkitevőn ($\displaystyle 0$-tól $\displaystyle 2$-ig), más prímtényező nincs, így $\displaystyle 5 \cdot 3 = 15$ darab pozitív osztó van. Ha az összeset összeszorozzuk, akkor a hatványozás azonossága alapján az azonos alapú hatványok kitevői összeadódnak, így

$\displaystyle K=3^{(0+1+2+3+4) \cdot 3} \cdot 5^{(0+1+2)\cdot 5}=3^{30} \cdot 5^{15},$

ebből úgy vonunk köbgyököt, hogy a kitevőket elosztjuk $\displaystyle 3$-mal. A feladat megoldása:

$\displaystyle \sqrt[3]{K}=3^{10} \cdot 5^5=59049 \cdot 3125= 184 \, 528 \, 125.$

Statisztika:

215 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	152 versenyző.
4 pontot kapott:	14 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	12 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2023. januári matematika feladatai