A C. 1753. feladat (2023. február)

C. 1753. Egy hosszú négyzetrácsos papírcsík első tíz négyzetére sorban leírjuk az $\displaystyle 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ számokat, a következő tíz négyzetre ugyanezeket, és így tovább. Ezen a módon pontosan $\displaystyle 2030$ négyzetet számozunk meg. Egy bábut az első, $\displaystyle 1$-gyel jelölt négyzetre helyezünk. A bábu egy lépése ezután abból áll, hogy annyi mezőt halad előre, mint amilyen szám áll az általa éppen elfoglalt mezőn. Milyen szám van azon a mezőn, amelyen a bábu akkor áll, amikor következő lépésével már le kellene lépnie a $\displaystyle 2030$ hosszúságú papírcsíkról?

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Nevezzük egységnek a papírcsík tíz olyan, egymás utáni négyzetét, amelyeket az $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 3$, $\displaystyle 4$, $\displaystyle 5$, $\displaystyle 6$, $\displaystyle 7$, $\displaystyle 8$, $\displaystyle 9$, $\displaystyle 10$ számozással láttunk el. Mivel $\displaystyle 2030$ négyzetet számoztunk meg sorban ezekkel a számokkal, ezért pontosan $\displaystyle 203$ ilyen $\displaystyle 10$-es egységet hoztunk létre a papírcsíkon.

A bábu kezdetben az $\displaystyle 1$-gyel jelölt mezőn áll, ezért az első lépés után a mellette levő, $\displaystyle 2$-es jelű mezőn fog állni. A második lépésben így $\displaystyle 2$ mezőt halad előre és a $\displaystyle 4$-essel jelölt mezőre lép, innen pedig az első egység $\displaystyle 8$-as jelű négyzetére. Erről a $\displaystyle 8$-as mezőről $\displaystyle 8$ mezőt kell előre haladnia, tehát a második egység $\displaystyle 6$-os jelű négyzetére fog lépni. Az ezután következő lépésével $\displaystyle 6$ mezőt halad előre, ezért a harmadik egység $\displaystyle 2$ jelű négyzetére kerül, innen a harmadik egység $\displaystyle 4$ jelű négyzetére, következő lépésével pedig a harmadik egység $\displaystyle 8$ jelű négyzetére. Erről a négyzetről a negyedik egység $\displaystyle 6$-os jelű négyzetére lép, és így tovább.

Innen már látható, hogy a megadott feltételek mellett a bábu a páratlan sorszámú egységekben mindig a $\displaystyle 2$, $\displaystyle 4$, $\displaystyle 8$ számozással ellátott négyzetekre lép (kivéve az első egységet, ahol az $\displaystyle 1$ jelű négyzetről indul), a páros sorszámú egységekben pedig csak a $\displaystyle 6$ jelű négyzetre.

Mivel $\displaystyle 203$ darab $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 3$, $\displaystyle 4$, $\displaystyle 5$, $\displaystyle 6$, $\displaystyle 7$, $\displaystyle 8$, $\displaystyle 9$, $\displaystyle 10$ számozással ellátott egység van, ezért a $\displaystyle 203.$ egységben először a $\displaystyle 2$, innen a $\displaystyle 4$, végül a $\displaystyle 8$ jelű négyzetre lép.

Erről a mezőről világos, hogy nem léphet tovább, mert a papírcsíkon nincs következő $\displaystyle 6$ jelű mező.

Tehát a bábu utolsó lépésével $\displaystyle 8$-as jelű négyzetre kerül, ahonnan a megadott feltételek miatt nem tud tovább lépni.

Statisztika:

187 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	143 versenyző.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	14 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2023. februári matematika feladatai