A C. 1753. feladat (2023. február)

C. 1753. Egy hosszú négyzetrácsos papírcsík első tíz négyzetére sorban leírjuk az \(\displaystyle 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\) számokat, a következő tíz négyzetre ugyanezeket, és így tovább. Ezen a módon pontosan \(\displaystyle 2030\) négyzetet számozunk meg. Egy bábut az első, \(\displaystyle 1\)-gyel jelölt négyzetre helyezünk. A bábu egy lépése ezután abból áll, hogy annyi mezőt halad előre, mint amilyen szám áll az általa éppen elfoglalt mezőn. Milyen szám van azon a mezőn, amelyen a bábu akkor áll, amikor következő lépésével már le kellene lépnie a \(\displaystyle 2030\) hosszúságú papírcsíkról?

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Nevezzük egységnek a papírcsík tíz olyan, egymás utáni négyzetét, amelyeket az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 8\), \(\displaystyle 9\), \(\displaystyle 10\) számozással láttunk el. Mivel \(\displaystyle 2030\) négyzetet számoztunk meg sorban ezekkel a számokkal, ezért pontosan \(\displaystyle 203\) ilyen \(\displaystyle 10\)-es egységet hoztunk létre a papírcsíkon.

A bábu kezdetben az \(\displaystyle 1\)-gyel jelölt mezőn áll, ezért az első lépés után a mellette levő, \(\displaystyle 2\)-es jelű mezőn fog állni. A második lépésben így \(\displaystyle 2\) mezőt halad előre és a \(\displaystyle 4\)-essel jelölt mezőre lép, innen pedig az első egység \(\displaystyle 8\)-as jelű négyzetére. Erről a \(\displaystyle 8\)-as mezőről \(\displaystyle 8\) mezőt kell előre haladnia, tehát a második egység \(\displaystyle 6\)-os jelű négyzetére fog lépni. Az ezután következő lépésével \(\displaystyle 6\) mezőt halad előre, ezért a harmadik egység \(\displaystyle 2\) jelű négyzetére kerül, innen a harmadik egység \(\displaystyle 4\) jelű négyzetére, következő lépésével pedig a harmadik egység \(\displaystyle 8\) jelű négyzetére. Erről a négyzetről a negyedik egység \(\displaystyle 6\)-os jelű négyzetére lép, és így tovább.

Innen már látható, hogy a megadott feltételek mellett a bábu a páratlan sorszámú egységekben mindig a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 8\) számozással ellátott négyzetekre lép (kivéve az első egységet, ahol az \(\displaystyle 1\) jelű négyzetről indul), a páros sorszámú egységekben pedig csak a \(\displaystyle 6\) jelű négyzetre.

Mivel \(\displaystyle 203\) darab \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 8\), \(\displaystyle 9\), \(\displaystyle 10\) számozással ellátott egység van, ezért a \(\displaystyle 203.\) egységben először a \(\displaystyle 2\), innen a \(\displaystyle 4\), végül a \(\displaystyle 8\) jelű négyzetre lép.

Erről a mezőről világos, hogy nem léphet tovább, mert a papírcsíkon nincs következő \(\displaystyle 6\) jelű mező.

Tehát a bábu utolsó lépésével \(\displaystyle 8\)-as jelű négyzetre kerül, ahonnan a megadott feltételek miatt nem tud tovább lépni.

Statisztika:

187 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	143 versenyző.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	14 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2023. februári matematika feladatai