A C. 1757. feladat (2023. február)

C. 1757. Jánoska egy négyzet alakú szőnyegen próbálja ki azt az új robotot, amelyet karácsonyra kapott. A négyzet oldalainak hossza \(\displaystyle 4\) méter, csúcsai pedig rendre az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontok. Legyen a \(\displaystyle P\) pont az \(\displaystyle ABCD\) négyzet azon belső pontja, amely az \(\displaystyle AB\) és a \(\displaystyle BC\) oldaltól egyaránt \(\displaystyle 1\) méter távolságra van. A \(\displaystyle P\) pontban álló robot egy véletlenszerűen kiválasztott irányban egyenesen elindul és \(\displaystyle 2\) méterre eltávolodik a \(\displaystyle P\) ponttól, majd megáll. Mekkora a valószínűsége, hogy ekkor a robot a szőnyegen kívül van?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Készítsünk ábrát és használjuk annak jelöléseit.

Jelöljük be a \(\displaystyle P\) középpontú, \(\displaystyle 2\) egység sugarú körvonal azon pontjait, amelyek az \(\displaystyle ABCD\) négyzeten belül vagy annak kerületén vannak. Ha a robot a megjelölt pontok valamelyikébe érkezik, akkor a szőnyegen marad, minden más esetben a szőnyegen kívül lesz. A valószínűség kiszámítására a geometriai modellt alkalmazva az eseménytér mértéke a teljesszög nagysága, amely \(\displaystyle 360^{\circ}\). A robot pontosan akkor lesz a szőnyegen kívül, ha a szaggatott körcikken kívül megy: azaz vagy a két bejelölt \(\displaystyle \gamma\) nagyságú szögtartományban, vagy a kis négyzet belsejében halad. Ezért a megfelelő szögtartomány nagysága összesen \(\displaystyle 2\gamma + 90^{\circ}\). A \(\displaystyle \gamma\) szöget tartalmazó derékszögű háromszög oldalhosszainak ismeretében meghatározzuk a szög koszinuszát: \(\displaystyle \cos \gamma= \frac{1}{2}\), amelyből megkapjuk a szög nagyságát: \(\displaystyle \gamma =60^{\circ}\). A kérdezett valószínűség

\(\displaystyle p=\frac{2 \cdot 60^{\circ}+90^{\circ} }{360^{\circ}}=\frac{7}{12}\hbox{.}\)

Statisztika:

41 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bezsilla Gábor, Bóta Bálint, Braun Zsófia, Buris Orsolya, Fiser 234 Boldizsár, Heltovics Lilla, Ispán Bence, Jójárt Emese, Keszthelyi Eszter, Mészáros Anna Veronika, Petró Péter, Réz Petra, Richlik Márton, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Márton, Szegedi Ágoston, Szittyai Anna, Varga 241 Ildikó Kata, Varga Dániel 829, Végh Lilian, Waldhauser Miklós.
4 pontot kapott:	Csorba Mihály, Fekete Patrik, Hosszu Noel, Hüvös Gergely, Josepovits Gábor, Juhász 119 Áron, Rigó Bálint, Schneider Dávid, Tomesz László Gergő, Varga 621 Emese .
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2023. februári matematika feladatai