A C. 1758. feladat (2023. március)

C. 1758. Ádám az egyik rejtvényújságban talált egy bűvös négyzetet (tehát olyan $\displaystyle 3\times3$-as számnégyzetet, amelyben az egyes sorokban, oszlopokban, illetve a két átlóban található számok összege megegyezik), melyet ki is töltött helyesen, majd találomra kiválasztott egy sort vagy egy oszlopot a táblázatból, és felírta a benne szereplő számokat balról jobbra vagy fentről lefele olvasva. Ezeket a számokat jelölik az $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ betűk az így keletkező $\displaystyle ax^2 + bx + c = 0$ egyenletben. Ádám nagy örömmel vette tudomásul, hogy az egyenletnek két valós gyöke is van. Ezek után kiszámolta az egyenlet gyökeinek négyzetösszegét. Milyen számot kaphatott?

Javasolta: Teleki Olivér (Tököl)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. április 11-én LEJÁRT.

1. megoldás. Először töltsük ki a bűvös négyzetet, jelöljük a középső mezőben lévő számot $\displaystyle x$-szel. Ekkor minden sorban, oszlopban és átlóban $\displaystyle 14+x$ a számok összege, vagyis máris tudjuk, hogy az alsó középső mezőben az $\displaystyle 5$-ös áll. Ha a bal alsó mezőben lévő számot $\displaystyle y$-nal jelöljük, akkor a jobb felső mezőben a $\displaystyle 14–y$ áll. Mivel az alsó sorban és a jobb oldali oszlopban azonos a számok összege, ezért $\displaystyle y+5= (14–y)+3$. Ebből $\displaystyle 2y=12$, tehát a bal alsó mezőben a $\displaystyle 6$-os szám áll. A jobb alsó mezőben ezek szerint $\displaystyle 3+x$ van, így lesz az alsó sorban is $\displaystyle 14+x$ a számok összege. Mivel a felső sorban és a bal felső–jobb alsó átlóban is ugyanannyi a számok összege, így $\displaystyle 9+8=3+2x$. Ebből $\displaystyle x=7$ – tehát ez van a középső mezőben – és így a bal felső mezőben a $\displaystyle 4$, a jobb alsóban a $\displaystyle 10$ áll. Immáron megvan a bűvös négyzet minden eleme:

Még ellenőriznünk kell, hogy tényleg minden sorban és oszlopban ugyanannyi a számok összege, de valóban, mindenütt $\displaystyle 21$-et kapunk. A feladatban megadott feltételek alapján Ádám az alábbi $\displaystyle 6$ másodfokú egyenletet egyikét írta fel:
$\displaystyle 1)$ $\displaystyle 4x^2 + 9x + 8 = 0$, amelynek diszkriminánsa $\displaystyle D_1=9^2-4 \cdot 4 \cdot 8=-47$;
$\displaystyle 2)$ $\displaystyle 11x^2 + 7x + 3 = 0$, amelynek diszkriminánsa $\displaystyle D_2=7^2-4 \cdot 11 \cdot 3=-83$;
$\displaystyle 3)$ $\displaystyle 6x^2 + 5x + 10 = 0$, amelynek diszkriminánsa $\displaystyle D_3=5^2-4 \cdot 6 \cdot 10=-215$;
$\displaystyle 4)$ $\displaystyle 4x^2 + 11x + 6 = 0$, amelynek diszkriminánsa $\displaystyle D_4=11^2-4 \cdot 4 \cdot 6=25$;
$\displaystyle 5)$ $\displaystyle 9x^2 + 7x + 5 = 0$, amelynek diszkriminánsa $\displaystyle D_5=7^2 - 4 \cdot 9 \cdot 5=-131$;
$\displaystyle 6)$ $\displaystyle 8x^2 + 3x + 10 = 0$, amelynek diszkriminánsa $\displaystyle D_6=3^2-4 \cdot 8 \cdot 10=-311$.
Láthatjuk, hogy kizárólag $\displaystyle D_4 >0$, ezért Ádám biztosan a $\displaystyle 4$-es számú egyenletet írta fel. A megoldóképlettel kiszámíthatjuk a két valós gyököt, amelyek $\displaystyle x_1=-\frac34$ és $\displaystyle x_2=-2$. A gyökök négyzetösszege

$\displaystyle x_1^2+x_2^2= (-\frac34)^2+(-2)^2=\frac{73}{16},$

vagyis ha Ádám helyesen számolt, akkor $\displaystyle \displaystyle{\frac{73}{16}}$-ot kapott.

2. megoldás. Jelöljük a bűvös négyzet bal felső sarkában lévő számot $\displaystyle a$-val, a jobb felső sarokban lévőt $\displaystyle b$-vel, a négyzet közepén lévőt $\displaystyle c$-vel, az alsó sorban álló számokat pedig balról jobbra haladva, rendre $\displaystyle d$-vel, $\displaystyle e$-vel és $\displaystyle f$-fel. Mivel az egyes sorokban, oszlopokban és egy-egy átlóban található számok összege megegyezik, ezért speciálisan a középső sorban, illetve oszlopban álló számok összege egyenlő, azaz $\displaystyle 11+c+3=9+c+e$, amelyből $\displaystyle e=5$ adódik. Hasonlóképpen az első és harmadik sorban lévő számok összege megegyezik a két átlóban lévők összegével: $\displaystyle a+9+b+d+5+f=a+c+f+b+c+d,$ ebből $\displaystyle 2c=14$, vagyis $\displaystyle c=7$, így az összeg minden esetben $\displaystyle 21$ kell, hogy legyen.

A négyzet $\displaystyle 2-2$ sarkában álló számok összegét kiszámíthatjuk a megfelelő sor, oszlop, vagy átló összegéből: $\displaystyle a+b=21-9=12$, $\displaystyle a+d=21-11=10$, $\displaystyle a+f=14$ és $\displaystyle b+d=14$. Az első két egyenlet megfelelő oldalait összeadva, majd kivonva az utolsó egyenlet megfelelő oldalait, azt kapjuk, hogy $\displaystyle 2a=8$, amiből $\displaystyle a=4$. Ezt rendre visszahelyettesítve az első, második és harmadik egyenletbe: $\displaystyle b=12-4=8$, $\displaystyle d=10-4=6$ és $\displaystyle f=14-4=10$.

A fentiek alapján a bűvös négyzet kitöltése egyértelmű, ezért Ádám az alábbi ábrán látható módon töltötte azt ki.

A feladat feltételei alapján Ádám az alábbi $\displaystyle 6$ másodfokú egyenlet egyikét írta fel:
$\displaystyle 1)$ $\displaystyle 4x^2 + 9x + 8 = 0$, amelynek diszkriminánsa $\displaystyle D_1=9^2-4 \cdot 4 \cdot 8=-47$;
$\displaystyle 2)$ $\displaystyle 11x^2 + 7x + 3 = 0$, amelynek diszkriminánsa $\displaystyle D_2=7^2-4 \cdot 11 \cdot 3=-83$;
$\displaystyle 3)$ $\displaystyle 6x^2 + 5x + 10 = 0$, amelynek diszkriminánsa $\displaystyle D_3=5^2-4 \cdot 6 \cdot 10=-215$;
$\displaystyle 4)$ $\displaystyle 4x^2 + 11x + 6 = 0$, amelynek diszkriminánsa $\displaystyle D_4=11^2-4 \cdot 4 \cdot 6=25$;
$\displaystyle 5)$ $\displaystyle 9x^2 + 7x + 5 = 0$, amelynek diszkriminánsa $\displaystyle D_5=7^2 - 4 \cdot 9 \cdot 5=-131$;
$\displaystyle 6)$ $\displaystyle 8x^2 + 3x + 10 = 0$, amelynek diszkriminánsa $\displaystyle D_6=3^2-4 \cdot 8 \cdot 10=-311$.
Láthatjuk, hogy kizárólag $\displaystyle D_4 >0$, ezért Ádám biztosan a $\displaystyle 4$-es számú egyenletet írta fel. A két különböző valós gyök négyzetösszegének kiszámításakor alkalmazhatjuk a Viéte-formulákat:

$\displaystyle x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\Big(-\frac{11}{4} \Big)^2-2 \cdot \frac{6}{4}=\frac{73}{16}(=4,\!5625).$

Ha Ádám helyesen számolt, akkor a $\displaystyle \displaystyle{\frac{73}{16}}$-ot kapta a gyökök négyzetösszegeként.

Statisztika:

115 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	64 versenyző.
4 pontot kapott:	17 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2023. márciusi matematika feladatai