A C. 1761. feladat (2023. március)

C. 1761. Egy szabályos háromszöget az egyik oldallal párhuzamos egyenessel elvágunk. Megrajzoljuk a keletkező háromszög és a trapéz köré írható két kört. Lehet-e a trapéz és a háromszög köré írt sugarának aránya $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$?

Javasolta: Tatár Zsuzsanna Mária (Esztergom)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. április 11-én LEJÁRT.

1. megoldás. Az $\displaystyle ABC$ szabályos háromszöget az $\displaystyle AB$-vel párhuzamos $\displaystyle DE$ egyenessel vágtuk el. Legyen az $\displaystyle ABC$ háromszög oldalának hossza $\displaystyle a$, a nyilvánvalóan szintén szabályos $\displaystyle DEC$ háromszög oldalának hossza $\displaystyle b$, az $\displaystyle ABED$ húrtrapéz köré írt kör $\displaystyle k_1$, a $\displaystyle DEC$ háromszög körülírt köre $\displaystyle k_2$. Jelöléseinket az alábbi ábrán láthatjuk.

1. ábra

A $\displaystyle DEC$ szabályos háromszög körülírt körének sugara legyen $\displaystyle r$, ennek hossza könnyen kifejezhető a háromszög oldalának hosszával:

Az $\displaystyle ABED$ húrtrapéz köré írt $\displaystyle k_1$ kör az $\displaystyle AED$ háromszögnek is körülírt köre, ezért elegendő az $\displaystyle AED$ háromszög körülírt körének $\displaystyle R$ sugarát meghatározni.

Ha az $\displaystyle AED$ háromszög területét $\displaystyle T$-vel jelöljük, akkor egy ismert összefüggés szerint:

Mivel $\displaystyle AD=a-b; DE=b$, ezért $\displaystyle EA$ hosszát kell meghatároznunk. Írjuk fel a koszinusztételt az $\displaystyle AED$ háromszög $\displaystyle D$ csúcsnál levő belső szögére és a vele szemközti $\displaystyle AE$ oldalra. Tudjuk, hogy $\displaystyle CDE\sphericalangle=60^{\circ}$ miatt $\displaystyle EDA\sphericalangle=120^{\circ}$, ezért:

$\displaystyle EA^2=b^2+(a-b)^2-2b(a-b)\cos120^{\circ},$

ahonnan a műveletek elvégzésével, $\displaystyle \displaystyle{\cos120^{\circ}=-\frac{1}{2}}$ felhasználásával és rendezéssel azt kapjuk, hogy $\displaystyle EA^2=a^2+b^2-ab$, azaz

Felhasználjuk, hogy $\displaystyle \displaystyle{T=\frac{(a-b)\cdot b\cdot \sin120^{\circ}}{2}=\frac{(a-b)\cdot b\cdot \sqrt{3}}{4}}$, így (2) és (3) alapján kapjuk, hogy $\displaystyle \displaystyle{R=\frac{(a-b)\cdot b\cdot \sqrt{a^2+b^2-ab}}{(a-b)\cdot b \cdot \sqrt{3}}}$, innen egyszerűsítéssel

Az $\displaystyle ABED$ húrtrapéz és a $\displaystyle DEC$ háromszög körülírt körei sugarának aránya (1) és (4) szerint

Tegyük fel, hogy (5) jobb oldalának értéke $\displaystyle \displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{3}}$-mal egyenlő.

Ekkor $\displaystyle \displaystyle{\frac{\sqrt{a^2+b^2-ab}}{b}=\frac{\sqrt{3}}{3}}$, ebből négyzetreemeléssel és rendezéssel a

$\displaystyle 3a^2-3ab+2b^2=0$

egyenlet adódik. Az egyenlet mindkét oldalát a pozitív $\displaystyle a^2$-vel osztva és bevezetve az $\displaystyle \displaystyle{x=\frac{b}{a}}$ jelölést, a

$\displaystyle 2x^2-3x+3=0$

másodfokú egyenletet kapjuk. Ennek az egyenletnek azonban nincs valós megoldása, mert diszkriminánsa $\displaystyle D=-15$.
A feladat feltételei mellett tehát az $\displaystyle ABED$ húrtrapéz és a $\displaystyle DEC$ háromszög körülírt körei sugarának aránya nem lehet $\displaystyle \displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{3}}$.

2. megoldás. Tekintsük a 2. ábrát, amelyen az $\displaystyle ABED$ trapéz $\displaystyle k_1$, illetve a $\displaystyle DEC$ háromszög $\displaystyle k_2$ körülírt körének középpontját $\displaystyle O_1$-gyel, illetve $\displaystyle O_2$-vel jelöltük, ezzel

2. ábra

Az $\displaystyle O_1$ és $\displaystyle O_2$ pontokból merőlegeseket állítottunk a $\displaystyle BC$ szakaszra, a merőlegesek talppontjai $\displaystyle F$, illetve $\displaystyle G$, az $\displaystyle O_2$-ből az $\displaystyle O_1F$-re állított merőleges talppontja $\displaystyle H$.

A két kör $\displaystyle O_1O_2$ centrálisa merőlegesen felezi a közös $\displaystyle DE$ húrt a $\displaystyle K$ pontban, továbbá az $\displaystyle O_1F$ egyenese a $\displaystyle BE$ szakasz, $\displaystyle O_2G$ egyenese pedig az $\displaystyle EC$ szakasz felezőmerőlegesével azonos. Ebből azt kapjuk, hogy

Az $\displaystyle O_2E=r$ szakasz szögfelező a $\displaystyle DEC$ háromszögben, ezért $\displaystyle O_2EG\sphericalangle=O_2EK\sphericalangle=30^{\circ}$. Ebből az következik, hogy $\displaystyle O_2EG$ egy szabályos háromszög fele és így (1) valamint (2) alapján

Az $\displaystyle FGO_2H$ négyszög téglalap, ezért az $\displaystyle O_2H$ szakasz hossza $\displaystyle O_2H=EF+EG$, amelyből (2) szerint adódik, hogy

$\displaystyle \displaystyle{O_2H=\frac{a}{2}}.$

Belátjuk, hogy az $\displaystyle O_1O_2H$ derékszögű háromszög ugyancsak egy szabályos háromszög fele. Ehhez elegendő igazolni, hogy

$\displaystyle O_1O_2H\sphericalangle=30^{\circ}.$

Az nyilvánvaló, hogy $\displaystyle KO_2E\sphericalangle=O_1O_2E\sphericalangle=60^{\circ}$, ugyanakkor $\displaystyle O_2EG\sphericalangle$ és $\displaystyle EO_2H\sphericalangle$ váltószögek, tehát egyenlő nagyságúak, ezért $\displaystyle EO_2H\sphericalangle=30^{\circ}$, de akkor $\displaystyle O_1O_2E\sphericalangle=60^{\circ}$ miatt $\displaystyle O_1O_2H\sphericalangle=30^{\circ}$ teljesül.

Eszerint az $\displaystyle O_1O_2H$ derékszögű háromszög valóban egy szabályos háromszög fele, és mivel $\displaystyle \displaystyle{O_2H=\frac{a}{2}}$, ezért

$\displaystyle \displaystyle{O_1H=\frac{a}{2\sqrt{3}}}.$

Az $\displaystyle FGO_2H$ téglalap szemközti oldalai egyenlő hosszúak, ezért $\displaystyle O_2G=HF$, amelyből (3) felhasználásával kapjuk, hogy

Felírjuk az $\displaystyle O_1EF$ háromszögre a Pitagorasz-tételt: $\displaystyle EF^2+O_1F^2=R^2$, ahonnan (2) és (4) segítségével

$\displaystyle \Bigg(\frac{a-b}{2}\Bigg)^2+\Bigg(\frac{a+b}{2\sqrt{3}}\Bigg)^2=R^2.$

Ebből a műveletek elvégzése és rendezés után az következik, hogy

A (3) és (5) eredményekből pedig azt kapjuk, hogy

$\displaystyle \displaystyle{\frac{R}{r}=\frac{\sqrt{a^2+b^2-ab}}{b}}.$

Innen az 1. megoldásban ismertetett módon juthatunk el ahhoz, hogy $\displaystyle \displaystyle{\frac{R}{r}=\frac{\sqrt{3}}{3}}$ nem lehetséges.

Megjegyzések. 1.) Az 1. megoldásban az $\displaystyle AED$ háromszög $\displaystyle EA$ oldalát kifejezhettük volna az $\displaystyle EA=2R\cdot \sin120^{\circ}$ összefüggéssel is.

2.) Megmutatható, hogy a két sugár arányát megadó függvény, az $\displaystyle \displaystyle{x=\frac{b}{a}}$ jelölést választva:

$\displaystyle \displaystyle{f(x)=\frac{\sqrt{x^2-x+1}}{x}}.$

A függvényt a $\displaystyle ]0;1[$ intervallumon célszerű vizsgálni, mert a feladat feltételei miatt nyilvánvaló, hogy $\displaystyle 0<x<1$. Igazolható, hogy ezen az intervallumon az $\displaystyle f(x)$ értéke tetszőlegesen nagy pozitív szám lehet.

Az $\displaystyle x=1$ értékre $\displaystyle f(1)=1$, ebben az esetben a feladat értelmetlenné válik, mert ekkor $\displaystyle a=b$ és így az $\displaystyle ABED$ trapéz magassága zérus.

3.) A függvényt az $\displaystyle x>0$ feltétel szerint is vizsgálhatjuk. Bizonyítható, hogy ebben az esetben az $\displaystyle f(x)$ függvénynek $\displaystyle x=2$ esetén minimuma van, a minimum értéke $\displaystyle \displaystyle{f(2)=\frac{\sqrt{3}}{2}}$.

Statisztika:

26 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Braun Zsófia, Fekete Patrik, Fiser 234 Boldizsár, Hosszu Noel, Keszthelyi Eszter, Mészáros Anna Veronika, Petró Péter, Richlik Márton, Schneider Dávid, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Márton, Szegedi Ágoston, Tomesz László Gergő, Végh Lilian, Waldhauser Miklós.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2023. márciusi matematika feladatai