A C. 1762. feladat (2023. március)

C. 1762. Létezik-e olyan pozitív $\displaystyle p$ prímszám, amelyre teljesül, hogy

$\displaystyle \log_{p-2}(4p-11)=m,$

ha az $\displaystyle m$ paraméter a $\displaystyle 2023$ valamelyik számjegye?

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A logaritmus értelmezése miatt $\displaystyle p-2>0$, tehát $\displaystyle p>2$. Ugyanakkor $\displaystyle p-2\neq 1$, ezért $\displaystyle p\neq 3$. A logaritmus numerusza pozitív szám, azaz $\displaystyle 4p-11>0$, így $\displaystyle \displaystyle{p>\frac{11}{4}}$.

Ezért a $\displaystyle p$ prímszámot a $\displaystyle p\geq 5$ egyenlőtlenségnek megfelelő prímszámok között keressük.

A feltétel szerint csak $\displaystyle m=0$, $\displaystyle m=2$ vagy $\displaystyle m=3$ lehetséges.

Ha $\displaystyle m=0$, akkor a logaritmus definíciója szerint $\displaystyle (p-2)^0=4p-11$, ebből a $\displaystyle 4p-11=1$ egyenletet kapjuk, amelyből azt kapjuk, hogy $\displaystyle p=3$. Ez a $\displaystyle p\neq 3$ feltétel miatt a feladatnak nem megoldása.

Ha $\displaystyle m=2$, akkor a logaritmus definícióját alkalmazva $\displaystyle (p-2)^2=4p-11$. A műveletek elvégzésével és rendezéssel a

másodfokú egyenletet kapjuk.

Az egyenletnek két pozitív megoldása van: $\displaystyle p_1=3$ és $\displaystyle p_2=5$.

Ezek közül a $\displaystyle p_1=3$ a feltétel miatt nem megoldás, a $\displaystyle p=5$ pozitív prím azonban minden feltételnek eleget tesz, és behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy valóban megoldása a feladatnak.

Ha most $\displaystyle m=3$, akkor $\displaystyle (p-2)^3=4p-11$, akkor a műveletek elvégzésével a $\displaystyle p^3-6p^2+12p-8=4p-11$, illetve rendezéssel a

harmadfokú egyenlet adódik.

Megmutatjuk, hogy a (2) egyenletnek nincs a feltételeknek megfelelő megoldása.

Ehhez elegendő bizonyítani, hogy $\displaystyle p^3+8p>6p^2$. Az egyenlőtlenség mindkét oldalának $\displaystyle p$-vel való osztása ekvivalens átalakítás, ahonnan előbb a $\displaystyle p^2-6p+8>0$, innen pedig a

egyenlőtlenséget kapjuk.

A (3) egyenlőtlenség minden, a $\displaystyle p\geq 5$ feltételnek megfelelő $\displaystyle p$ prímszámra fennáll, ezért az is igaz, hogy $\displaystyle p^3+8p>6p^2$. Ebből pedig azonnal következik, hogy $\displaystyle p^3-6p^2+8p>0$, vagyis a (3) egyenlet a feltételek mellett valóban nem teljesülhet.

A feladat egyetlen megoldása tehát a $\displaystyle p=5$ prímszám, ekkor $\displaystyle m=2$.

Statisztika:

37 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Balla Emese, Braun Zsófia, Fiser 234 Boldizsár, Hosszu Noel, Huszár Dóra , Keszthelyi Eszter, Mészáros Anna Veronika, Petró Péter, Richlik Márton, Schneider Dávid, Sipeki Márton, Szegedi Ágoston, Szittyai Anna, Tomesz László Gergő, Tóth Csilla Réka, Török Hanga, Varga Dániel 829, Végh Lilian.
4 pontot kapott:	Fekete Patrik, Szabó Viktória Ildikó , Waldhauser Miklós.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2023. márciusi matematika feladatai