A C. 1764. feladat (2023. április)

C. 1764. Oldjuk meg az

egyenletrendszert, ha $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ pozitív valós számok.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az első egyenlet első két tényezőjét összeszorozva a

$\displaystyle (2x^2+6x)(3x+5y)=64$

egyenlethez jutunk. Vegyük észre, hogy az $\displaystyle a=2x^2+6x$ és a $\displaystyle b=3x+5y$ új változókat bevezetve az egyenletrendszer a következő alakot ölti: $\displaystyle ab=64; \quad a+b=16.$ Ezt megoldva kapjuk, hogy $\displaystyle a=8; \quad b=8$, vagyis

$\displaystyle 2x^2+6x=8 \quad \text{és} \quad 3x+5y=8.$

Az első egyenletet rendezzük: $\displaystyle 2x^2+6x-8=0,$ majd alkalmazzuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét, így megkapjuk, hogy

$\displaystyle x_1=1 \quad \text{és} \quad x_2=-4,$

melyek közül utóbbi nem felel meg a feladat feltételeinek, hiszen negatív. Az $\displaystyle x_1$-re kapott értéket behelyettesítve a $\displaystyle 3x+5y=8$ egyenletbe, majd az elsőfokú egyenletet megoldva kapjuk, hogy $\displaystyle y_1=1.$

Az eredeti egyenletrendszernek az $\displaystyle (1;1)$ pozitív valós számpár a megoldása, amelynek helyességéről behelyettesítéssel könnyen meggyőződhetünk.

Statisztika:

154 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	88 versenyző.
4 pontot kapott:	33 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	10 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2023. áprilisi matematika feladatai