 |
A C. 1764. feladat (2023. április) |
C. 1764. Oldjuk meg az
$$\begin{align*} x(2x+6)(3x+5y) & =64;\\ 2x^2+9x+5y & =16 \end{align*}$$egyenletrendszert, ha \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) pozitív valós számok.
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az első egyenlet első két tényezőjét összeszorozva a
\(\displaystyle (2x^2+6x)(3x+5y)=64\)
egyenlethez jutunk. Vegyük észre, hogy az \(\displaystyle a=2x^2+6x\) és a \(\displaystyle b=3x+5y\) új változókat bevezetve az egyenletrendszer a következő alakot ölti: \(\displaystyle ab=64; \quad a+b=16.\) Ezt megoldva kapjuk, hogy \(\displaystyle a=8; \quad b=8\), vagyis
\(\displaystyle 2x^2+6x=8 \quad \text{és} \quad 3x+5y=8.\)
Az első egyenletet rendezzük: \(\displaystyle 2x^2+6x-8=0,\) majd alkalmazzuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét, így megkapjuk, hogy
\(\displaystyle x_1=1 \quad \text{és} \quad x_2=-4,\)
melyek közül utóbbi nem felel meg a feladat feltételeinek, hiszen negatív. Az \(\displaystyle x_1\)-re kapott értéket behelyettesítve a \(\displaystyle 3x+5y=8\) egyenletbe, majd az elsőfokú egyenletet megoldva kapjuk, hogy \(\displaystyle y_1=1.\)
Az eredeti egyenletrendszernek az \(\displaystyle (1;1)\) pozitív valós számpár a megoldása, amelynek helyességéről behelyettesítéssel könnyen meggyőződhetünk.
Statisztika:
154 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 88 versenyző. 4 pontot kapott: 33 versenyző. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 10 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2023. áprilisi matematika feladatai