A C. 1767. feladat (2023. április)

C. 1767. Adott $\displaystyle 2$ darab $\displaystyle 7$-es, $\displaystyle 3$ darab $\displaystyle 17$-es, $\displaystyle 5$ darab $\displaystyle 119$-es, $\displaystyle 7$ darab $\displaystyle 289$-es, $\displaystyle 11$ darab $\displaystyle 2023$-as és $\displaystyle n$ darab $\displaystyle 1$-es érme. Az érmék közül véletlenszerűen kiválasztunk egyszerre kettőt, amelyeknek az értékét összeszorozzuk és így éppen $\displaystyle 2023$-at kapunk. Határozzuk meg $\displaystyle n$ értékét, ha tudjuk, hogy a megfelelő kiválasztás valószínűsége $\displaystyle \frac{12}{55}$.

Javasolta: Teleki Olivér (Tököl)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Összesen $\displaystyle 2+3+5+7+11+n=n+28$ darab érme van, ezek közül $\displaystyle \displaystyle{\binom{n+28}{2}}$-féleképpen választhatunk ki $\displaystyle 2$ darabot a sorrendre való tekintet nélkül, így ez az eseménytér számossága. Kedvezőek azok az események, amelyekben a két érme névértékének szorzata éppen $\displaystyle 2023$, ez $\displaystyle 3$-féleképpen valósulhat meg.
1. eset. Mivel $\displaystyle 2023=1 \cdot 2023$, és $\displaystyle n$ darab $\displaystyle 1$-es, valamint $\displaystyle 11$ darab $\displaystyle 2023$-as érme van, így a megfelelő esetek száma $\displaystyle n \cdot 11=11n$.
2. eset. Mivel $\displaystyle 2023 = 7 \cdot 289$, a megfelelő érmék száma pedig rendre $\displaystyle 2$ és $\displaystyle 7$, ezért ebben az esetben $\displaystyle 2 \cdot 7=14$ megfelelő eset van.
3. eset. Végül, $\displaystyle 2023= 17 \cdot 119$, a megfelelő érmék száma pedig rendre $\displaystyle 3$ és $\displaystyle 5$, ezért ebben az esetben $\displaystyle 3 \cdot 5=15$ megfelelő eset van.

A feladat feltételeinek megfelelő kiválasztásból összesen $\displaystyle 11n+14+15=11n+29$ darab van, így a valószínűség értéke:

$\displaystyle \frac{11n+29}{\binom{n+28}{2}}=\frac{11n+29}{\frac{(n+28)(n+27)}{2!}}=\frac{12}{55}.$

Keresztbe szorzunk:

$\displaystyle 55(11n+29)=6(n+28)(n+27),$

majd rendezés és nullára redukálás után az alábbi másodfokú egyenletet kapjuk:

$\displaystyle 6n^2-275n+2941=0.$

Az egyenlet gyökei $\displaystyle \displaystyle{n_1=\frac{173}{6}}$ és $\displaystyle n_2=17$, közülük csak az utóbbi pozitív egész szám, így csak ez lehet a feladat megoldása.

Az érmék között $\displaystyle 17$ darab $\displaystyle 1$-es névértékű van.

Statisztika:

29 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Braun Zsófia, Dobos 256 Dávid, Fiser 234 Boldizsár, Hosszu Noel, Jójárt Emese, Keszthelyi Eszter, Mészáros Anna Veronika, Őzbas Yasin, Petró Péter, Richlik Márton, Schneider Dávid, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Márton, Szegedi Ágoston, Tomesz László Gergő, Tóth Csilla Réka, Waldhauser Miklós.
4 pontot kapott:	Kiss101Dávid, Szittyai Anna, Varga Dániel 829, Végh Lilian.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2023. áprilisi matematika feladatai