 |
A C. 1773. feladat (2023. szeptember) |
C. 1773. Határozzuk meg a p egész szám értékét úgy, hogy a (p−3)x+p+5=(2−p)x egyenlet x valós megoldásának értéke legalább 2 legyen. Adjuk meg minden lehetséges p értékre az egyenlet megoldását.
Javasolta: Bíró Bálint, Eger
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A zárójelek felbontásával és rendezéssel azt kapjuk, hogy
| (1) | p+5=(5−2p)x. |
Mivel p egész szám, ezért 5−2p≠0, tehát (1) mindkét oldalát osztva az 5−2p kifejezéssel:
| (2) | x=p+55−2p. |
A feltétel szerint x≥2, így a
| (3) | p+55−2p≥2 |
egyenlőtlenség p egész megoldásait keressük.
Két eset lehetséges: 5−2p>0, vagy 5−2p<0.
Ha 5−2p>0, akkor p<52, ezért a (3) egyenlőtlenség mindkét oldalát az 5−2p>0 kifejezéssel szorozva azt kapjuk, hogy p+5≥10−4p, ahonnan rendezéssel p≥1 adódik. A p-re kapott mindkét egyenlőtlenségnek csak a p=1, illetve p=2 egész számok felelnek meg. Ezeket az eredeti egyenletbe helyettesítve x=2, illetve x=7.
Ha pedig 5−2p<0, akkor egyrészt p>52, másrészt a (3) egyenlőtlenség mindkét oldalát az 5−2p<0 kifejezéssel szorozva azt kapjuk, hogy p≤1.
A p-re kapott két feltétel ezúttal ellentmond egymásnak, így az 5−2p<0 esetben nem kapunk megfelelő p egész számot, és emiatt az egyenletnek sincs a feltételeknek megfelelő valós megoldása.
A feladat megoldásai tehát csak a p=1 és p=2 egész számok, az egyenlet ezeknek megfelelő valós megoldásai x=2, illetve x=7.
Statisztika:
289 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 91 versenyző. 4 pontot kapott: 55 versenyző. 3 pontot kapott: 31 versenyző. 2 pontot kapott: 21 versenyző. 1 pontot kapott: 27 versenyző. 0 pontot kapott: 15 versenyző. Nem versenyszerű: 4 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 33 dolgozat.
A KöMaL 2023. szeptemberi matematika feladatai
|
|