A C. 1776. feladat (2023. szeptember)

C. 1776. Egy természetes számnak pontosan \(\displaystyle 2023\) pozitív osztója van. Hány pozitív osztója lehet a négyzetének?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél, Győr

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ismert, hogy \(\displaystyle n=p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot p_3^{\alpha_3} \cdot \ldots \cdot p_n^{\alpha_n}\) prímtényezős felbontás esetén az \(\displaystyle n\) számnak pontosan

\(\displaystyle (\alpha_1+1) \cdot (\alpha_2+1) \cdot (\alpha_3+1) \cdot \ldots \cdot (\alpha_n+1)\)

pozitív osztója van. A feladat feltétele alapján a pozitív osztók száma \(\displaystyle 2023=7 \cdot 17^2\), így a \(\displaystyle 2023\) többféleképpen bontható \(\displaystyle 1\)-nél nagyobb egészek szorzatára, ezért esetvizsgálatot végzünk.

1. eset. Ha magát a \(\displaystyle 2023\)-at egy egytényezős szorzatnak tekintjük, akkor \(\displaystyle n=p^{2022}\) alakú (ahol \(\displaystyle p>0\) prímszám).

Ekkor \(\displaystyle n^2=(p^{2022})^2=p^{4044}\), amelynek \(\displaystyle 4044+1=4045\) pozitív osztója van.

2. eset. Ha a \(\displaystyle 2023\)-at \(\displaystyle 7 \cdot 289\)-ként írjuk fel, akkor \(\displaystyle n=p^{6} \cdot q^{288}\) alakú (ahol \(\displaystyle p; q>0\) prímszám).

Ekkor \(\displaystyle n^2=(p^{6} \cdot q^{288})^2=p^{12} \cdot q^{576}\), amelynek \(\displaystyle 13 \cdot 577=7501\) pozitív osztója van.

3. eset. Ha a \(\displaystyle 2023\)-at \(\displaystyle 17 \cdot 119\)-ként írjuk fel, akkor \(\displaystyle n=p^{16} \cdot q^{118}\) alakú (ahol \(\displaystyle p; q>0\) prímszám).

Ekkor \(\displaystyle n^2=(p^{16} \cdot q^{118})^2=p^{32} \cdot q^{236}\), amelynek \(\displaystyle 33 \cdot 237=7821\) pozitív osztója van.

4. eset. Ha a \(\displaystyle 2023\)-at \(\displaystyle 7 \cdot 17 \cdot 17\)-ként írjuk fel, akkor \(\displaystyle n=p^{6} \cdot q^{16} \cdot r^{16}\) alakú (ahol \(\displaystyle p; q; r>0\) prímszám).

Ekkor \(\displaystyle n^2=(p^{6} \cdot q^{16} \cdot r^{16})^2=p^{12} \cdot q^{32} \cdot r^{32}\), amelynek \(\displaystyle 13 \cdot 33 \cdot 33=14157\) pozitív osztója van.

Több eset nincs, ezért ha egy természetes számnak \(\displaystyle 2023\) pozitív osztója van, akkor a négyzetének \(\displaystyle 4045\), \(\displaystyle 7501\), \(\displaystyle 7821\) vagy \(\displaystyle 14157\) pozitív osztója lehet.

Statisztika:

106 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Barna Márton, Beke Botond, Bérczes Botond, Braun Zsófia, Bunford Luca, Csáki Botond Benjámin, Détári Szabolcs, Fórizs Borbála, Gerencsér László, Gombos Dániel , Gyuricsek Ákos, Han Xinzhi, Harmincz Sára, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Juhos Bálint András, Kádas Dániel, Kuczy Dorottya, Leskó Gábor, Márfai Dóra, Mező Levente, Nagy 292 Korina, Németh Hanna Júlia , Oláh András, Pánovics Máté, Papp Zsófia, Petró Péter, Polyányi Lora Molli, Puskás Péter, Raffay Gergely, Szabó Donát, Tasnády-Szeőcs Zoltán, Tibor Varga, Tóth Ágoston, Tóth-Falusi Mihály, Török Eszter Júlia, Ujpál Bálint, Varga Balázs, Volford Barnabás, Wodala Gréta Klára, Žigo Boglárka, Zoikasz Nikolasz.
4 pontot kapott:	16 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	24 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2023. szeptemberi matematika feladatai