A C. 1778. feladat (2023. október)

C. 1778. Határozzuk meg az összes olyan \(\displaystyle n\) egész számot, amelyre \(\displaystyle 1+2+3+ \ldots+n\) egy azonos számjegyekből álló háromjegyű, tízes számrendszerbeli számmal egyenlő.

(Vietnami feladat)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A feladat feltételei alapján \(\displaystyle 1+2+3+...+n=k \cdot 111,\) ahol \(\displaystyle 0< k < 10\) egész szám. Most a bal oldalon alkalmazzuk az első \(\displaystyle n\) darab pozitív szám összegére ismert Gauss-féle képletet, a jobb oldalon pedig felbontjuk a \(\displaystyle 111\)-et prímtényezőire:

\(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}=3 \cdot 37 \cdot k,\)

amiből

\(\displaystyle n(n+1)=2 \cdot 3 \cdot 37 \cdot k.\)

Az egyenlet bal oldalán két egymást követő pozitív egész szám szorzata áll, ezért ennek megfelelően a jobb oldalon lévő szorzat tényezőit is csoportosítjuk. Mivel \(\displaystyle k\) egyjegyű, pozitív egész, ezért \(\displaystyle k < 2k < 3k \le 27\). Ebből az következik, hogy a két egymást követő egész szám a \(\displaystyle 37\) és a \(\displaystyle 2 \cdot 3 \cdot k=6k\). Utóbbi osztható \(\displaystyle 6\)-tal, ezért nem lehet a \(\displaystyle 37\)-et követő \(\displaystyle 38\). Így egyetlen lehetőségünk, hogy a kisebbik tényező a \(\displaystyle 2 \cdot 3\cdot k=6k=36\), a nagyobbik pedig a \(\displaystyle 37\), azaz \(\displaystyle k=6\). Ekkor \(\displaystyle n=36\), amely a feladat egyetlen megoldása. Ellenőrizve azt kapjuk, hogy \(\displaystyle 1+2+3+ ... +36=\frac{36 \cdot 37}{2}=666\), tehát a \(\displaystyle 36\) valóban megfelel a feltételeknek.

Statisztika:

307 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	177 versenyző.
4 pontot kapott:	51 versenyző.
3 pontot kapott:	18 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	26 dolgozat.

A KöMaL 2023. októberi matematika feladatai