A C. 1778. feladat (2023. október)

C. 1778. Határozzuk meg az összes olyan $\displaystyle n$ egész számot, amelyre $\displaystyle 1+2+3+ \ldots+n$ egy azonos számjegyekből álló háromjegyű, tízes számrendszerbeli számmal egyenlő.

(Vietnami feladat)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A feladat feltételei alapján $\displaystyle 1+2+3+...+n=k \cdot 111,$ ahol $\displaystyle 0< k < 10$ egész szám. Most a bal oldalon alkalmazzuk az első $\displaystyle n$ darab pozitív szám összegére ismert Gauss-féle képletet, a jobb oldalon pedig felbontjuk a $\displaystyle 111$-et prímtényezőire:

$\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}=3 \cdot 37 \cdot k,$

amiből

$\displaystyle n(n+1)=2 \cdot 3 \cdot 37 \cdot k.$

Az egyenlet bal oldalán két egymást követő pozitív egész szám szorzata áll, ezért ennek megfelelően a jobb oldalon lévő szorzat tényezőit is csoportosítjuk. Mivel $\displaystyle k$ egyjegyű, pozitív egész, ezért $\displaystyle k < 2k < 3k \le 27$. Ebből az következik, hogy a két egymást követő egész szám a $\displaystyle 37$ és a $\displaystyle 2 \cdot 3 \cdot k=6k$. Utóbbi osztható $\displaystyle 6$-tal, ezért nem lehet a $\displaystyle 37$-et követő $\displaystyle 38$. Így egyetlen lehetőségünk, hogy a kisebbik tényező a $\displaystyle 2 \cdot 3\cdot k=6k=36$, a nagyobbik pedig a $\displaystyle 37$, azaz $\displaystyle k=6$. Ekkor $\displaystyle n=36$, amely a feladat egyetlen megoldása. Ellenőrizve azt kapjuk, hogy $\displaystyle 1+2+3+ ... +36=\frac{36 \cdot 37}{2}=666$, tehát a $\displaystyle 36$ valóban megfelel a feltételeknek.

Statisztika:

307 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	177 versenyző.
4 pontot kapott:	51 versenyző.
3 pontot kapott:	18 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	26 dolgozat.

A KöMaL 2023. októberi matematika feladatai