A C. 1779. feladat (2023. október)

C. 1779. Igazoljuk, hogy végtelen sok olyan háromszög létezik, amelynek oldalhosszúságait a

$\displaystyle \frac{3x}{2};\quad 2x-1;\quad 3x+1$

számok adják meg, ahol $\displaystyle x$ pozitív egész. Határozzuk meg a legkisebb kerületű ilyen háromszög oldalainak hosszát.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel $\displaystyle x$ pozitív egész, ezért egyrészt a $\displaystyle \displaystyle{\frac{3x}{2}}$,  $\displaystyle 2x-1$,  $\displaystyle 3x+1$ számok mindegyike pozitív, másrészt $\displaystyle \displaystyle{3x+1>2x-1}$, illetve $\displaystyle \displaystyle{3x+1>\frac{3x}{2}}$. Mivel mindhárom szám pozitív, így akkor és csak akkor létezik olyan háromszög, amelynek oldalhosszai a megadott számok, ha teljesül rájuk a háromszög-egyenlőtlenség.

A háromszög-egyenlőtlenséget az előzőek szerint elegendő felírni a két legrövidebb oldal összegére. A kérdéses oldalhosszakkal rendelkező háromszög tehát akkor és csak akkor létezik, ha

A műveletek elvégzése és rendezés után kapjuk, hogy az (1) egyenlőtlenség megoldásai az

$\displaystyle x>4$

egyenlőtlenségnek megfelelő pozitív egész számok.

Ilyen pozitív egész szám nyilván végtelen sok van, ez pedig azt jelenti, hogy végtelen sok olyan háromszög létezik, amelyek oldalhosszai a $\displaystyle \displaystyle{\frac{3x}{2};\quad 2x-1;\quad 3x+1}$ számok.

Mivel az $\displaystyle \displaystyle{f(x)=\frac{3x}{2};\quad g(x)=2x-1;\quad h(x)=3x+1}$ elsőfokú függvények mindegyike szigorúan monoton növekvő, ezért a feltételeknek megfelelő legkisebb oldalhosszakkal rendelkező háromszöget akkor kapjuk, ha $\displaystyle x=5$, ekkor a háromszög oldalainak hossza

$\displaystyle 7,5;\quad 9;\quad 16.$

Megjegyzések. 1) Ha a háromszög leghosszabb oldalával szemben fekvő szöget $\displaystyle \gamma$-val jelöljük, akkor felírva erre a koszinusztételt, a műveletek elvégzése, rendezés és egyszerűsítés után

$\displaystyle \displaystyle{\cos \gamma=\frac{-11x-40}{12\cdot (2x-1)}}.$

Eszerint a feltételeknek megfelelő háromszögek mindegyike tompaszögű, hiszen az $\displaystyle x>4$ értékekre nyilván $\displaystyle \cos \gamma<0$.

2) Könnyen belátható, hogy a feltételeknek megfelelő háromszögek között nincsenek hasonló háromszögek.

Statisztika:

318 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	178 versenyző.
4 pontot kapott:	55 versenyző.
3 pontot kapott:	15 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	33 dolgozat.

A KöMaL 2023. októberi matematika feladatai