A C. 1781. feladat (2023. október)

C. 1781. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a

egyenletrendszert.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Nem veszítünk gyököt azzal, ha összeadjuk a két egyenletet. Ezt elvégezve és 0-ra rendezve az így kapott egyenletet a következőhöz jutunk:

\(\displaystyle 0=x^3+x^2-2x=x(x^2+x-2)=x(x+2)(x-1).\)

Ezek szerint az \(\displaystyle x\) értéke csak \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle -2\) vagy \(\displaystyle 1\) lehet. Vizsgáljuk meg, hogy az \(\displaystyle x=0\), \(\displaystyle x=-2\) és \(\displaystyle x=1\) esetekhez milyen \(\displaystyle y\)-ok tartoznak!

1. Ha \(\displaystyle x=0\), akkor a \(\displaystyle \sqrt{y^2-21y}=\sqrt{y(y-21)}=0\) megoldásaiként az \(\displaystyle y=0\) és \(\displaystyle y=21\) adódik.
2. Ha \(\displaystyle x=-2\), akkor a \(\displaystyle -6+\sqrt{y^2-21y}=8\), illetve rendezés után az \(\displaystyle y^2-21y-196=0\) egyenlet megoldásaiként az \(\displaystyle y=-7\) és \(\displaystyle y=28\) adódik.
3. Ha \(\displaystyle x=1\), akkor a behelyettesítés és rendezés után azt kapjuk, hogy \(\displaystyle \sqrt{y^2-21y}=-1\), tehát ezen az ágon nincs megoldás.

Tehát az egyenletrendszer megoldásaként csak az \(\displaystyle x_1=0\), \(\displaystyle y_1=0\), \(\displaystyle x_2=0\), \(\displaystyle y_2=21\), \(\displaystyle x_3=−2\), \(\displaystyle y_3=-7\) és az \(\displaystyle x_4=−2\), \(\displaystyle y_4=28\) számpárok jöhetnek szóba. Ezeket behelyettesítve az eredeti egyenletrendszerbe kiderül, hogy mind a négy \(\displaystyle (x, y)\) számpár megoldás is.

Statisztika:

153 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	97 versenyző.
4 pontot kapott:	23 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2023. októberi matematika feladatai