A C. 1781. feladat (2023. október)

C. 1781. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a

egyenletrendszert.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Nem veszítünk gyököt azzal, ha összeadjuk a két egyenletet. Ezt elvégezve és 0-ra rendezve az így kapott egyenletet a következőhöz jutunk:

$\displaystyle 0=x^3+x^2-2x=x(x^2+x-2)=x(x+2)(x-1).$

Ezek szerint az $\displaystyle x$ értéke csak $\displaystyle 0$, $\displaystyle -2$ vagy $\displaystyle 1$ lehet. Vizsgáljuk meg, hogy az $\displaystyle x=0$, $\displaystyle x=-2$ és $\displaystyle x=1$ esetekhez milyen $\displaystyle y$-ok tartoznak!

1. Ha $\displaystyle x=0$, akkor a $\displaystyle \sqrt{y^2-21y}=\sqrt{y(y-21)}=0$ megoldásaiként az $\displaystyle y=0$ és $\displaystyle y=21$ adódik.
2. Ha $\displaystyle x=-2$, akkor a $\displaystyle -6+\sqrt{y^2-21y}=8$, illetve rendezés után az $\displaystyle y^2-21y-196=0$ egyenlet megoldásaiként az $\displaystyle y=-7$ és $\displaystyle y=28$ adódik.
3. Ha $\displaystyle x=1$, akkor a behelyettesítés és rendezés után azt kapjuk, hogy $\displaystyle \sqrt{y^2-21y}=-1$, tehát ezen az ágon nincs megoldás.

Tehát az egyenletrendszer megoldásaként csak az $\displaystyle x_1=0$, $\displaystyle y_1=0$, $\displaystyle x_2=0$, $\displaystyle y_2=21$, $\displaystyle x_3=−2$, $\displaystyle y_3=-7$ és az $\displaystyle x_4=−2$, $\displaystyle y_4=28$ számpárok jöhetnek szóba. Ezeket behelyettesítve az eredeti egyenletrendszerbe kiderül, hogy mind a négy $\displaystyle (x, y)$ számpár megoldás is.

Statisztika:

153 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	97 versenyző.
4 pontot kapott:	23 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2023. októberi matematika feladatai