A C. 1784. feladat (2023. november)

C. 1784. Az $\displaystyle ABC$ derékszögű háromszög rövidebbik befogója egységnyi hosszúságú. A derékszögű csúcsból az $\displaystyle AB$ átfogóra bocsátott magasság a hegyesszögek szögfelezőivel olyan $\displaystyle \varphi$ és $\displaystyle \varepsilon$ szögeket zár be, amelyekre

$\displaystyle \frac{\varphi}{\varepsilon}=\frac{4}{5}.$

Határozzuk meg a háromszög szögeit és az átfogóhoz tartozó magasság hosszát.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. december 11-én LEJÁRT.

Megoldás.

Az ábrán látható $\displaystyle ABC$ háromszög teljesíti a feladat feltételeit: derékszögű, és rövidebbik befogója $\displaystyle 1$.

Tekintve, hogy $\displaystyle AC< CB$, az is igaz, hogy $\displaystyle CAB\sphericalangle >CBA\sphericalangle$, hiszen nagyobb oldallal szemközt nagyobb szög található. Az utóbbi egyenlőtlenségből viszont az következik, hogy az $\displaystyle APT_c$ és $\displaystyle BQT_c$ derékszögű háromszögek hegyesszögeire az alábbi összefüggések igazak (ahol $\displaystyle AP$ és $\displaystyle BQ$ a feladat szövegében szereplő szögfelezők):

$\displaystyle PAT_c \sphericalangle=\frac{CAB\sphericalangle}{2} > \frac{CBA\sphericalangle}{2}=QBT_c \sphericalangle.$

A háromszög belső szögeinek összege $\displaystyle 180^{\circ}$, tehát az is teljesül, hogy

$\displaystyle \displaystyle{APT_c \sphericalangle < BQT_c\sphericalangle}.$

Tekintve a feladat szövegében megadott feltételt erre az utóbbi két szögre, azt kapjuk, hogy

$\displaystyle \displaystyle{\varphi=APT_c \sphericalangle=4x},$

$\displaystyle \displaystyle{\epsilon=BQT_c\sphericalangle=5x},$

ahogyan ezt az ábrán is jelöltük. Mindezek alapján

$\displaystyle CAT_c\sphericalangle=2\cdot(90^{\circ}-4x),\qquad CBT_c\sphericalangle=2\cdot(90^{\circ}-5x).$

Ebből az $\displaystyle ABC$ háromszög hegyesszögeire az alábbi egyenlet adódik:

$\displaystyle 180^{\circ}-8x+180^{\circ}-10x=90^{\circ},$

az egyenlet megoldása $\displaystyle x=15^{\circ}$. Az $\displaystyle ABC$ háromszög hegyesszögei tehát

$\displaystyle CAT_c=CAB\sphericalangle=180^{\circ}-8\cdot15^{\circ}=60^{\circ},$

$\displaystyle CBT_c=ABC\sphericalangle=180^{\circ}-10\cdot15^{\circ}=30^{\circ}.$

Ebből következik, hogy az $\displaystyle ACT_c$ háromszög egy szabályos háromszög fele, így $\displaystyle \displaystyle{AT_c=\frac{1}{2}}$. Ha erre a háromszögre alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt, akkor azt kapjuk, hogy az $\displaystyle ABC$ derékszögű háromszög $\displaystyle AB$ átfogójához tartozó magassága:

$\displaystyle \displaystyle{CT_c=\frac{\sqrt{3}}{2}}.$

Statisztika:

220 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	59 versenyző.
4 pontot kapott:	102 versenyző.
3 pontot kapott:	14 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	17 dolgozat.

A KöMaL 2023. novemberi matematika feladatai