A C. 1785. feladat (2023. november)

C. 1785. Határozzuk meg az összes olyan $\displaystyle (x;y)$ valós számpárt, amely megoldása a

$\displaystyle \frac{10}{1+|x|}+y=4;\quad \frac{10}{1+|y|}+x=4$

egyenletrendszernek.

(Német versenyfeladat)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. december 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A feltételek miatt az egyenletekben szereplő két tört nevezője pozitív.

Nyilvánvaló, hogy $\displaystyle x\neq 4$ és $\displaystyle y\neq 4$, mert ellenkező esetben a

$\displaystyle \displaystyle{\frac{10}{1+|x|}=0,\qquad \frac{10}{1+|y|}=0}$

egyenletek valamelyike teljesülne, de egyszerűen látható, hogy egyik sem lehetséges.

Az első egyenlet ekvivalens átalakításával kapjuk, hogy $\displaystyle \displaystyle{(4-y)(1+|x|)=10}$, ebből pedig

Hasonlóan adódik a második egyenletből, hogy

Ha $\displaystyle x\geq 0$, akkor $\displaystyle |x|=x$, ezért az (1) egyenlet alakja $\displaystyle \displaystyle{x=\frac{6+y}{4-y}}$.

Ezt a (2) egyenletbe helyettesítve és a műveleteket elvégezve

A (3) egyenlet nem értelmezhető, ha $\displaystyle y=2$, ez azonban nem állhat fenn, mert ebből $\displaystyle \displaystyle{x=\frac{6+y}{4-y}}$ alapján $\displaystyle x=4$ következne, de ezt fentebb kizártuk.

Ha $\displaystyle y\geq 0$, akkor $\displaystyle |y|=y$, ezért a (3) egyenlet

$\displaystyle \displaystyle{y=\frac{30-5y}{10-5y}},$

amelyből a műveletek elvégzése, rendezés és egyszerűsítés után az $\displaystyle y^2-3y+4=0$ másodfokú egyenletet kapjuk. Ennek az egyenletnek a diszkriminánsa negatív, tehát a valós számok halmazán nincs megoldása. Ezt azt is jelenti, hogy $\displaystyle x\geq 0$ és $\displaystyle y\geq 0$ egyszerre nem teljesülhet.

Ha $\displaystyle x\geq 0$ mellett $\displaystyle y<0$, akkor a (3) egyenlet:

$\displaystyle \displaystyle{-y=\frac{30-5y}{10-5y}},$

amelyből az

$\displaystyle y^2-y-6=0$

egyenletet kapjuk.

Ennek megoldásai

$\displaystyle y_1=-2, \qquad y_2=3,$

amelyek közül $\displaystyle y_2=3$ nem megoldás, hiszen feltevésünk szerint most $\displaystyle y<0$.

Az $\displaystyle y_1=-2$ megoldásból $\displaystyle \displaystyle{x=\frac{6+y}{4-y}}$ szerint $\displaystyle \displaystyle{x_1=\frac{2}{3}}$ következik.

Vizsgáljuk az $\displaystyle x<0$ esetet is, ekkor $\displaystyle |x|=-x$, tehát az (1) egyenletből $\displaystyle \displaystyle{-x=\frac{6+y}{4-y}}$, illetve $\displaystyle \displaystyle{x=\frac{-6-y}{4-y}}$ következik.

A kapott összefüggést a (2) egyenletbe írva, és a műveleteket elvégezve

A (4) egyenlet nem értelmezhető $\displaystyle \displaystyle{y=\frac{22}{3}}$ esetén, ez azonban nem lehetséges, mert így $\displaystyle \displaystyle{x=\frac{-6-y}{4-y}}$ alapján $\displaystyle x=4$ adódna, de ezt már kizártuk.

Ha $\displaystyle y\geq 0$, akkor a (4) egyenlet a következő:

$\displaystyle \displaystyle{y=\frac{18-7y}{22-3y}},$

ahonnan egyszerű számolással a

$\displaystyle 3y^2-29y+18=0$

másodfokú egyenletet kapjuk, amelynek megoldásai

$\displaystyle \displaystyle{y_3=\frac{2}{3},\qquad y_4=9}.$

A kapott valós számok közül $\displaystyle y_4=9$ nem megoldás, mert ekkor az $\displaystyle \displaystyle{x=\frac{-6-y}{4-y}}$ összefüggésből $\displaystyle x=3$ következne, ez azonban az $\displaystyle x<0$ feltétel szerint nem lehetséges.

Az $\displaystyle \displaystyle{y_3=\frac{2}{3}}$ érték mellett $\displaystyle \displaystyle{x=\frac{-6-y}{4-y}}$ szerint $\displaystyle x_3=-2$.

Végül, ha $\displaystyle x<0$ mellett $\displaystyle y<0$ teljesül, akkor a (4) egyenlet

$\displaystyle \displaystyle{-y=\frac{18-7y}{22-3y}},$

ebből a műveletek elvégzését, rendezést és egyszerűsítést követően az

$\displaystyle y^2-5y-6=0$

egyenlet adódik.

Ennek megoldásai

$\displaystyle y_5=-1,\qquad y_6=6.$

Az $\displaystyle y_6=6$ nem felel meg az $\displaystyle y<0$ feltételnek, ezért ebből nem kapunk megoldást.

Az $\displaystyle y_5=-1$ kielégíti a feltételt, ebből $\displaystyle \displaystyle{x=\frac{-6-y}{4-y}}$ alapján $\displaystyle x_5=-1$.

Minden esetet megvizsgáltunk és azt kaptuk, hogy az egyenletrendszer megoldásai az

$\displaystyle \displaystyle{x=\frac{2}{3},y=-2;\qquad x=-2,y=\frac{2}{3};\qquad x=-1,y=-1}$

valós számpárok.

Behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy a három számpár mindegyike kielégíti az egyenletrendszer mindkét egyenletét.

Statisztika:

219 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	80 versenyző.
4 pontot kapott:	17 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	24 versenyző.
0 pontot kapott:	49 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	12 dolgozat.

A KöMaL 2023. novemberi matematika feladatai