 |
A C. 1785. feladat (2023. november) |
C. 1785. Határozzuk meg az összes olyan \(\displaystyle (x;y)\) valós számpárt, amely megoldása a
\(\displaystyle \frac{10}{1+|x|}+y=4;\quad \frac{10}{1+|y|}+x=4 \)
egyenletrendszernek.
(Német versenyfeladat)
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. december 11-én LEJÁRT.
Megoldás. A feltételek miatt az egyenletekben szereplő két tört nevezője pozitív.
Nyilvánvaló, hogy \(\displaystyle x\neq 4\) és \(\displaystyle y\neq 4\), mert ellenkező esetben a
\(\displaystyle \displaystyle{\frac{10}{1+|x|}=0,\qquad \frac{10}{1+|y|}=0}\)
egyenletek valamelyike teljesülne, de egyszerűen látható, hogy egyik sem lehetséges.
Az első egyenlet ekvivalens átalakításával kapjuk, hogy \(\displaystyle \displaystyle{(4-y)(1+|x|)=10}\), ebből pedig
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{|x|=\frac{6+y}{4-y}}.\) |
Hasonlóan adódik a második egyenletből, hogy
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \displaystyle{|y|=\frac{6+x}{4-x}}.\) |
Ha \(\displaystyle x\geq 0\), akkor \(\displaystyle |x|=x\), ezért az (1) egyenlet alakja \(\displaystyle \displaystyle{x=\frac{6+y}{4-y}}\).
Ezt a (2) egyenletbe helyettesítve és a műveleteket elvégezve
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \displaystyle{|y|=\frac{30-5y}{10-5y}}.\) |
A (3) egyenlet nem értelmezhető, ha \(\displaystyle y=2\), ez azonban nem állhat fenn, mert ebből \(\displaystyle \displaystyle{x=\frac{6+y}{4-y}}\) alapján \(\displaystyle x=4\) következne, de ezt fentebb kizártuk.
Ha \(\displaystyle y\geq 0\), akkor \(\displaystyle |y|=y\), ezért a (3) egyenlet
\(\displaystyle \displaystyle{y=\frac{30-5y}{10-5y}},\)
amelyből a műveletek elvégzése, rendezés és egyszerűsítés után az \(\displaystyle y^2-3y+4=0\) másodfokú egyenletet kapjuk. Ennek az egyenletnek a diszkriminánsa negatív, tehát a valós számok halmazán nincs megoldása. Ezt azt is jelenti, hogy \(\displaystyle x\geq 0\) és \(\displaystyle y\geq 0\) egyszerre nem teljesülhet.
Ha \(\displaystyle x\geq 0\) mellett \(\displaystyle y<0\), akkor a (3) egyenlet:
\(\displaystyle \displaystyle{-y=\frac{30-5y}{10-5y}},\)
amelyből az
\(\displaystyle y^2-y-6=0\)
egyenletet kapjuk.
Ennek megoldásai
\(\displaystyle y_1=-2, \qquad y_2=3,\)
amelyek közül \(\displaystyle y_2=3\) nem megoldás, hiszen feltevésünk szerint most \(\displaystyle y<0\).
Az \(\displaystyle y_1=-2\) megoldásból \(\displaystyle \displaystyle{x=\frac{6+y}{4-y}}\) szerint \(\displaystyle \displaystyle{x_1=\frac{2}{3}}\) következik.
Vizsgáljuk az \(\displaystyle x<0\) esetet is, ekkor \(\displaystyle |x|=-x\), tehát az (1) egyenletből \(\displaystyle \displaystyle{-x=\frac{6+y}{4-y}}\), illetve \(\displaystyle \displaystyle{x=\frac{-6-y}{4-y}}\) következik.
A kapott összefüggést a (2) egyenletbe írva, és a műveleteket elvégezve
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle \displaystyle{|y|=\frac{18-7y}{22-3y}}.\) |
A (4) egyenlet nem értelmezhető \(\displaystyle \displaystyle{y=\frac{22}{3}}\) esetén, ez azonban nem lehetséges, mert így \(\displaystyle \displaystyle{x=\frac{-6-y}{4-y}}\) alapján \(\displaystyle x=4\) adódna, de ezt már kizártuk.
Ha \(\displaystyle y\geq 0\), akkor a (4) egyenlet a következő:
\(\displaystyle \displaystyle{y=\frac{18-7y}{22-3y}},\)
ahonnan egyszerű számolással a
\(\displaystyle 3y^2-29y+18=0\)
másodfokú egyenletet kapjuk, amelynek megoldásai
\(\displaystyle \displaystyle{y_3=\frac{2}{3},\qquad y_4=9}.\)
A kapott valós számok közül \(\displaystyle y_4=9\) nem megoldás, mert ekkor az \(\displaystyle \displaystyle{x=\frac{-6-y}{4-y}}\) összefüggésből \(\displaystyle x=3\) következne, ez azonban az \(\displaystyle x<0\) feltétel szerint nem lehetséges.
Az \(\displaystyle \displaystyle{y_3=\frac{2}{3}}\) érték mellett \(\displaystyle \displaystyle{x=\frac{-6-y}{4-y}}\) szerint \(\displaystyle x_3=-2\).
Végül, ha \(\displaystyle x<0\) mellett \(\displaystyle y<0\) teljesül, akkor a (4) egyenlet
\(\displaystyle \displaystyle{-y=\frac{18-7y}{22-3y}},\)
ebből a műveletek elvégzését, rendezést és egyszerűsítést követően az
\(\displaystyle y^2-5y-6=0\)
egyenlet adódik.
Ennek megoldásai
\(\displaystyle y_5=-1,\qquad y_6=6.\)
Az \(\displaystyle y_6=6\) nem felel meg az \(\displaystyle y<0\) feltételnek, ezért ebből nem kapunk megoldást.
Az \(\displaystyle y_5=-1\) kielégíti a feltételt, ebből \(\displaystyle \displaystyle{x=\frac{-6-y}{4-y}}\) alapján \(\displaystyle x_5=-1\).
Minden esetet megvizsgáltunk és azt kaptuk, hogy az egyenletrendszer megoldásai az
\(\displaystyle \displaystyle{x=\frac{2}{3},y=-2;\qquad x=-2,y=\frac{2}{3};\qquad x=-1,y=-1}\)
valós számpárok.
Behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy a három számpár mindegyike kielégíti az egyenletrendszer mindkét egyenletét.
Statisztika:
219 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 80 versenyző. 4 pontot kapott: 17 versenyző. 3 pontot kapott: 11 versenyző. 2 pontot kapott: 12 versenyző. 1 pontot kapott: 24 versenyző. 0 pontot kapott: 49 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 12 dolgozat.
A KöMaL 2023. novemberi matematika feladatai