A C. 1786. feladat (2023. november)

C. 1786. Mennyi annak a valószínűsége, hogy öt szabályos dobótetraédert egyszerre dobva, a dobott számok lehetnének egy ötcsúcsú fagráf fokszámai?

Javasolta: Kovács Bence (Szombathely)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. december 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Ötcsúcsú fagráfból háromféle létezik. Ha a maximális fokszám \(\displaystyle 2\), akkor kizárólag az (1) típust kapjuk, ha a maximális fokszám \(\displaystyle 3\), akkor a (2) típust, ha pedig \(\displaystyle 4\), akkor a (3)-t.

\(\displaystyle (1) \hspace{5cm} (2) \hspace{5cm} (3)\)

Ezeknek a fokszámsorozatatai rendre a következők:

\(\displaystyle 1,1,2,2,2 \hspace{2cm}1,1,1,2,3 \hspace{2cm}1,1,1,1,4\)

Ha az öt szabályos dobótetraéderrel dobunk, akkor összeszámolhatjuk a fenti esetekben a fokszámok ismétléses permutációinak számát, vagyis azt, hogy hányféleképpen jöhetnek ki a három esethez tartozó kedvező dobássorozatok:

\(\displaystyle \frac{5!}{2!\cdot3!}=10,\hspace{2cm}\frac{5!}{3!}=20,\hspace{2cm}\frac{5!}{4!}=5.\)

Az összes lehetséges dobássorozat száma pedig:

\(\displaystyle 4^5=1024.\)

A keresett valószínűség tehát:

\(\displaystyle \frac{10+20+5}{1024}=\frac{35}{1024}=0,0341796875.\)

Statisztika:

108 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	55 versenyző.
4 pontot kapott:	13 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2023. novemberi matematika feladatai