A C. 1787. feladat (2023. november)

C. 1787. Az $\displaystyle ABC$ hegyesszögű háromszögben az $\displaystyle M$ magasságponton keresztül párhuzamost húzunk az $\displaystyle AB$ oldallal, amely az $\displaystyle AC$, illetve $\displaystyle BC$ oldalakat a $\displaystyle D$, illetve $\displaystyle E$ pontban metszi. Az $\displaystyle ABC$ háromszög körülírt körének egyik átmérője a $\displaystyle CC_1$ szakasz. Számítsuk ki a $\displaystyle DEC_1$ háromszög kerületét, ha $\displaystyle AB=14$.

(A Kvant nyomán)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. december 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel a háromszög hegyesszögű, így az $\displaystyle M$ magasságpont, és a körülírt kör $\displaystyle O$ középpontja a háromszög belső pontja.

A feltétel szerint $\displaystyle CC_1$ a $\displaystyle k$ körülírt kör átmérője, ezért $\displaystyle CC_1A$ és $\displaystyle CC_1B$ derékszögű háromszögek, melyeknek derékszögű csúcsa $\displaystyle A$, illetve $\displaystyle B$.

Legyen az $\displaystyle AB$ oldal felezőpontja $\displaystyle F$, az $\displaystyle M$ pontnak az $\displaystyle AB$ oldal egyenesére vonatkozó tükörképe $\displaystyle M'$ és messe a $\displaystyle C_1A$, illetve $\displaystyle C_1B$ egyenes a $\displaystyle DE$ egyenest az $\displaystyle X$, illetve $\displaystyle Y$ pontban. Tekintsük az alábbi ábrát.

Ismert tétel, hogy a magasságpontnak az oldalakra és az oldalfelező pontokra vonatkozó tükörképei a körülírt körön vannak. Ha most az $\displaystyle M$-nek az $\displaystyle F$ pontra vonatkozó tükörképét $\displaystyle M"$-vel jelöljük, akkor az $\displaystyle MM'M"$ háromszög középvonala az $\displaystyle MT$ szakasz, ahol $\displaystyle T$ a $\displaystyle C$-ből induló magasság talppontja.

Az $\displaystyle FT$ középvonal párhuzamos az $\displaystyle M'M"$ szakasszal, ezért szükségképpen $\displaystyle MM'M"\sphericalangle=90^{\circ}$. Ez azonban csak úgy lehetséges, ha az $\displaystyle M"$ pont azonos $\displaystyle C_1$-gyel.

Az $\displaystyle MC_1$ tehát felezi az $\displaystyle AB$ szakaszt és $\displaystyle AB\parallel XY$, ezért könnyen belátható, hogy $\displaystyle A$ az $\displaystyle XC_1$, $\displaystyle B$ pedig az $\displaystyle YC_1$ szakasz felezőpontja, vagyis $\displaystyle AB$ az $\displaystyle XYC_1$ háromszög középvonala.

Eszerint az $\displaystyle XDC_1$ háromszögben a $\displaystyle DA$ magasságvonal felezi az $\displaystyle XC_1$ alapot, ez csak úgy lehetséges, hogy az $\displaystyle XDC_1$ háromszög egyenlő szárú, vagyis $\displaystyle DX=DC_1$.

Hasonlóan egyszerűen láthatjuk be, hogy $\displaystyle EB$ merőlegesen felezi az $\displaystyle XC_1$ szakaszt, és ezért az $\displaystyle YEC_1$ háromszög egyenlő szárú, tehát $\displaystyle EY=EC_1$.

A kapott eredményeink azt jelentik, hogy a $\displaystyle DEC_1$ háromszög kerülete: $\displaystyle K_{DEC_1}=DC_1+EC_1+DE=DX+EY+DE,$ azaz

Már megállapítottuk, hogy $\displaystyle AB$ az $\displaystyle XYC_1$ háromszög középvonala, ezért $\displaystyle XY=2AB$, így az $\displaystyle AB=14$ feltétel és (1) alapján

$\displaystyle K_{DEC_1}=28.$

Ezzel a megoldást befejeztük.

Megjegyzés. A két tétel, amely szerint a magasságpontnak az oldalakra és oldalfelező pontokra vonatkozó tükörképei a körülírt körön vannak, a Geometriai feladatgyűjtemény I. kötetének 1079., illetve 1081. feladata.

Statisztika:

32 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Baksa Anna, Braun Zsófia, Fiser 234 Boldizsár, Harmincz Sára, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Károlyi József, Márfai Dóra, Nagy 292 Korina, Németh Hanna Júlia , Szabó Donát, Török Eszter Júlia, Wodala Gréta Klára.
4 pontot kapott:	Alexandrova Angelina, Balogh Péter, Papp Zsófia.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2023. novemberi matematika feladatai