A C. 1788. feladat (2023. december)

C. 1788. Oldjuk meg az

$\displaystyle 14x^2+15y^2=7^{2023}$

egyenletet az egész számpárok halmazán.

(Svájci versenyfeladat alapján)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenlet mindkét oldalából $\displaystyle 14x^2$-t levonva a $\displaystyle 15y^2=7^{2023}-14x^2$ egyenletet kapjuk, melynek a jobb oldalán álló kifejezés osztható $\displaystyle 7$-tel, ezért a bal oldalnak is osztója kell, hogy legyen a $\displaystyle 7$. Az előzőekből az következik, hogy $\displaystyle y^2$ osztható $\displaystyle 7$-tel, hiszen a $\displaystyle 15$ nem osztható $\displaystyle 7$-tel. Mivel a $\displaystyle 7$ prímszám, ezért ha $\displaystyle 7 \vert y^2$, akkor $\displaystyle 7 \vert y$, azaz $\displaystyle y=7y_1$ alakú, ahol $\displaystyle y_1 \in \mathbb{Z}$. Ezt behelyettesítve az eredeti egyenletben $\displaystyle y$ helyére, a $\displaystyle 14x^2+15 \cdot (7y_1)^2=7^{2023}$ egyenletet kapjuk, amely azonos átalakítások után a

egyenletre vezet. Az előzőekhez teljesen hasonló megfontolások alapján láthatjuk, hogy $\displaystyle x$ osztható kell, hogy legyen $\displaystyle 7$-tel, azaz felírható $\displaystyle x=7x_1$ alakban, ahol $\displaystyle x_1 \in \mathbb{Z}$. Ezt most az $\displaystyle (1)$-be helyettesítjük, $\displaystyle 7$-tel egyszerűsítünk, így a

egyenletet kapjuk, amely a feladatban megadott egyenlettel analóg, csak a $\displaystyle 7$ kitevőjét sikerült $\displaystyle 2$-vel csökkentenünk. Így a megoldás elején tett megállapításaink erre az egyenletre is érvényesek, ezért megismételhetjük az előzőekben leírt eljárást, amíg a $\displaystyle 7$ kitevője $\displaystyle 1$-re csökken. Ekkor ha $\displaystyle x=7^{1011}x'$ és $\displaystyle y=7^{1011}y'$ ($\displaystyle x'$ és $\displaystyle y'$ egész számok), akkor a

$\displaystyle 14(x')^2+15(y')^2=7$

egyenletet kapjuk, amely nem teljesülhet, hiszen $\displaystyle x'=y'=0$ esetén a bal oldal értéke $\displaystyle 0$. Minden más esetben $\displaystyle (x')^2 \ge 1$ vagy $\displaystyle (y')^2 \ge 1$, ezért a bal oldalon álló kifejezés értéke legalább $\displaystyle 14$, ami nem lehet egyenlő $\displaystyle 7$-tel. Beláttuk, hogy az egyenletnek nincs megoldása az egész számpárok halmazán.

Statisztika:

178 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	74 versenyző.
4 pontot kapott:	35 versenyző.
3 pontot kapott:	19 versenyző.
2 pontot kapott:	16 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	11 dolgozat.

A KöMaL 2023. decemberi matematika feladatai