 |
A C. 1790. feladat (2023. december) |
C. 1790. Határozzuk meg az
x2+y2+5z2−xy−3yz−zx+3x−4y+7z
kifejezés legkisebb értékét, ha x, y, z valós számok.
(Vietnámi feladat)
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A kifejezés átalakítható a következő alakra:
x2+y2+5z2−xy−3yz−zx+3x−4y+7z=12((x−y+1)2+(x−z+2)2+(3z−y+3)2)−7.
Ebből látszik, hogy a kifejezés nagyobb vagy egyenlő mint −7, egyenlőség pedig pontosan akkor következik be, ha az x, y, z valós számokra teljesül, hogy x−y+1=0, x−z+2=0 és 3z−y+3=0. Oldjuk meg tehát az alábbi egyenletrendszert:
x−y+1=0,x−z+2=0,3z−y+3=0.Az elsőből kivonva a másodikat az (1)−(2) egyenlet és a (3) adja a következő egyenletpárt:
z−y−1=0,3z−y+3=0.A fölsőből kivonva az alsót azt kapjuk, hogy
−2z−4=0,z=−2.Ezt visszahelyettesítve a (2)-be, majd a kapott eredményt (x=−4) az (1)-be az alábbi számhármas adódik: x=−4, y=−3, z=−2. Erre a számhármasra az eredeti kifejezés értéke valóban −7, tehát ez a kifejezés legkisebb értéke.
Statisztika:
A KöMaL 2023. decemberi matematika feladatai
|
|