 |
A C. 1790. feladat (2023. december) |
C. 1790. Határozzuk meg az
\(\displaystyle x^2+y^2+5z^2-xy-3yz-zx+3x-4y+7z \)
kifejezés legkisebb értékét, ha \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) valós számok.
(Vietnámi feladat)
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A kifejezés átalakítható a következő alakra:
\(\displaystyle x^2+y^2+5z^2-xy-3yz-zx+3x-4y+7z=\frac{1}{2}\left((x-y+1)^2+(x-z+2)^2+(3z-y+3)^2\right)-7.\)
Ebből látszik, hogy a kifejezés nagyobb vagy egyenlő mint \(\displaystyle -7\), egyenlőség pedig pontosan akkor következik be, ha az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) valós számokra teljesül, hogy \(\displaystyle x-y+1=0\), \(\displaystyle x-z+2=0\) és \(\displaystyle 3z-y+3=0\). Oldjuk meg tehát az alábbi egyenletrendszert:
$$\begin{align*} x-y+1 &=0, \\ x-z+2 &=0, \\ 3z-y+3 &=0. \end{align*}$$Az elsőből kivonva a másodikat az (1)\(\displaystyle -\)(2) egyenlet és a (3) adja a következő egyenletpárt:
$$\begin{align*} z-y-1 &=0, \\ 3z-y+3 &=0. \end{align*}$$A fölsőből kivonva az alsót azt kapjuk, hogy
$$\begin{align*} -2z -4 &=0, \\ z &=-2. \end{align*}$$Ezt visszahelyettesítve a (2)-be, majd a kapott eredményt (\(\displaystyle x=-4\)) az (1)-be az alábbi számhármas adódik: \(\displaystyle x=-4\), \(\displaystyle y=-3\), \(\displaystyle z=-2\). Erre a számhármasra az eredeti kifejezés értéke valóban \(\displaystyle -7\), tehát ez a kifejezés legkisebb értéke.
Statisztika:
A KöMaL 2023. decemberi matematika feladatai