A C. 1791. feladat (2023. december)

C. 1791. Oldjuk meg a

$\displaystyle \frac{8^x - 15 625}{4^x + 25 \cdot 2^x + 625} = 2023$

egyenletet a valós számok halmazán.

Javasolta: Teleki Olivér (Tököl)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenlet bal oldalán található tört nevezője nem lehet $\displaystyle 0$, hiszen $\displaystyle 2^x>0$ minden $\displaystyle x\in \mathbf{R}$ esetén, tehát az értelmezési tartomány az egész $\displaystyle \mathbf{R}$. Vezessük be a következő jelölést: $\displaystyle 2^x=y$. Így az egyenlet ebben az alakban írható fel:

$\displaystyle \frac{y^3-25^3}{y^2+25y +25^2}=\frac{(y-25)\cdot(y^2+25y+25^2)}{y^2+25y+25^2}=2023.$

Egyszerűsítés és rendezés után azt kapjuk, hogy

$\displaystyle y=2048.$

A $\displaystyle 2^x$ szigorú monotonitása miatt a $\displaystyle 2^x=2048$ egyenlet egyetlen megoldása pedig az

$\displaystyle x=11.$

Ellenőrzés után látható, hogy ez valóban megoldása az egyenletnek.

Statisztika:

108 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	51 versenyző.
4 pontot kapott:	28 versenyző.
3 pontot kapott:	18 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2023. decemberi matematika feladatai