 |
A C. 1791. feladat (2023. december) |
C. 1791. Oldjuk meg a
\(\displaystyle \frac{8^x - 15 625}{4^x + 25 \cdot 2^x + 625} = 2023 \)
egyenletet a valós számok halmazán.
Javasolta: Teleki Olivér (Tököl)
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az egyenlet bal oldalán található tört nevezője nem lehet \(\displaystyle 0\), hiszen \(\displaystyle 2^x>0\) minden \(\displaystyle x\in \mathbf{R}\) esetén, tehát az értelmezési tartomány az egész \(\displaystyle \mathbf{R}\). Vezessük be a következő jelölést: \(\displaystyle 2^x=y\). Így az egyenlet ebben az alakban írható fel:
\(\displaystyle \frac{y^3-25^3}{y^2+25y +25^2}=\frac{(y-25)\cdot(y^2+25y+25^2)}{y^2+25y+25^2}=2023.\)
Egyszerűsítés és rendezés után azt kapjuk, hogy
\(\displaystyle y=2048.\)
A \(\displaystyle 2^x\) szigorú monotonitása miatt a \(\displaystyle 2^x=2048\) egyenlet egyetlen megoldása pedig az
\(\displaystyle x=11.\)
Ellenőrzés után látható, hogy ez valóban megoldása az egyenletnek.
Statisztika:
108 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 51 versenyző. 4 pontot kapott: 28 versenyző. 3 pontot kapott: 18 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2023. decemberi matematika feladatai