A C. 1793. feladat (2024. január)

C. 1793. A valós számok halmazán értelmezett $\displaystyle f$ függvényre az alábbi két feltétel mindegyike teljesül (bármely $\displaystyle x \in \mathbb{R}$-re):

Határozzuk meg $\displaystyle f(200)+f(201)+f(202)$ értékét, ha tudjuk, hogy

$\displaystyle f(50)+f(51)+f(52)+f(53)=2024.$

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. február 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Az $\displaystyle (1)$-es feltétel miatt $\displaystyle f(x+100)=f(147-(x+100))=f(47-x)$. Ezt $\displaystyle (2)$-vel összevetve $\displaystyle f(47-x)=f(46-x)$ minden valós $\displaystyle x$-re, ami azt jelenti, hogy alkalmasan megválasztva $\displaystyle x$-et $\displaystyle f(50)=f(51)=f(52)=f(53)= \ldots =f(200)=f(201)=f(202)$. Létezik is ilyen függvény, például a konstansfüggvény kielégíti az összes feltételt. Az előzőek alapján $\displaystyle 4 \cdot f(50)=2024$, amiből $\displaystyle f(50)=2024/4=506.$ Ekkor $\displaystyle 506=f(200)=f(201)=f(202)$, azaz a megoldás

$\displaystyle f(200)+f(201)+f(202)=3 \cdot 506=1518.$

Statisztika:

153 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	68 versenyző.
4 pontot kapott:	46 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	10 dolgozat.

A KöMaL 2024. januári matematika feladatai