A C. 1795. feladat (2024. január) |
C. 1795. Legyen \(\displaystyle p\) valós paraméter. A \(\displaystyle p\) értékeitől függően hány megoldása van az alábbi egyenletnek?
\(\displaystyle |x^2-6x+5|=px^2-6px+9p+4. \)
Javasolta: Szmerka Gergely (Budapest)
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. február 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Alakítsuk át az egyenletet az alábbiak szerint:
\(\displaystyle |(x-3)^2-4| = p(x-3)^2+4.\)
Az egyenlet bal oldalán álló kifejezés vagy (\(\displaystyle (x-3)^2-4\))-gyel egyenlő, vagy (\(\displaystyle -(x-3)^2+4\))-gyel, attól függően, hogy az \(\displaystyle x\) a \(\displaystyle H_1=(- \infty ; 1]\cup[5 ;+\infty)\), vagy a \(\displaystyle H_2=(1;5)\) halmaznak eleme.
- első eset, amikor \(\displaystyle x\in H_1=(- \infty \; 1]\cup[5\;+\infty)\): $$\begin{align*} (x-3)^2-4 & = p(x-3)^2+4, \\ 0 & = (p-1)(x-3)^2+8. \end{align*}$$
- Ha \(\displaystyle p=1\), akkor a \(\displaystyle 0=8\) egyenlőség egyetlen \(\displaystyle x\)-re sem teljesül, vagyis nincs megoldás.
- Ha \(\displaystyle p>1\), akkor \(\displaystyle (p-1)(x-3)^2+8 \geq 8 \), vagyis szintén nincs megoldás.
- Ha \(\displaystyle p<1\), akkor azt kapjuk rendezés után, hogy
- Tehát ha \(\displaystyle -1\leq p<1\), akkor két megoldás van,
- ha \(\displaystyle p<-1\), akkor nincs megoldás.
- második eset, amikor \(\displaystyle x\in H_2=(1;5)\):
- \(\displaystyle p=-1\) esetén végtelen sok megoldás van (bármely \(\displaystyle x\in H_2\)).
- \(\displaystyle p\neq -1\) esetén egy megoldás van, (amely az \(\displaystyle x=3\)).
Itt \(\displaystyle p\) értékétől függően a megoldások száma a következőképp alakul:
\(\displaystyle (x-3)^2=\frac{8}{1-p}.\)
Ami azt jelenti, hogy pontosan akkor van két gyök, ha \(\displaystyle x_1\) és \(\displaystyle x_2\) a \(\displaystyle H_1\) elemei, vagyis \(\displaystyle \displaystyle{ x_1=-\sqrt{\frac{8}{1-p}}+3\leq 1}\) és \(\displaystyle \displaystyle{ x_2=\sqrt{\frac{8}{1-p}}+3\geq 5}\). Ezek a feltételek pontosan akkor teljesülnek, ha \(\displaystyle \displaystyle{\sqrt{\frac{8}{1-p}}\geq 2}\). Rendezés után azt kapjuk, hogy \(\displaystyle 8\geq 4-4p\), vagyis \(\displaystyle p \geq -1\).
\(\displaystyle |x^2-6x+5|=-x^2+6x-5 = -(x-3)^2+4 = p(x-3)^2+4. \)
Rendezés után:
\(\displaystyle 0 = (p+1)(x-3)^2.\)
Itt a megoldások száma a \(\displaystyle H_2\) halmazon \(\displaystyle p\) értékétől függően a következőképp alakul:
VÁLASZ:
- Ha \(\displaystyle p<-1\), akkor egy megoldás van (\(\displaystyle x=3\)).
- Ha \(\displaystyle p=-1\), akkor végtelen sok megoldás van (bármely \(\displaystyle x\in H_2\)).
- Ha \(\displaystyle -1<p<1\), akkor három megoldás van.
- Ha \(\displaystyle p\geq 1\), akkor egy megoldás van (\(\displaystyle x=3)\).
Statisztika:
A KöMaL 2024. januári matematika feladatai