A C. 1795. feladat (2024. január)

C. 1795. Legyen $\displaystyle p$ valós paraméter. A $\displaystyle p$ értékeitől függően hány megoldása van az alábbi egyenletnek?

$\displaystyle |x^2-6x+5|=px^2-6px+9p+4.$

Javasolta: Szmerka Gergely (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. február 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Alakítsuk át az egyenletet az alábbiak szerint:

$\displaystyle |(x-3)^2-4| = p(x-3)^2+4.$

Az egyenlet bal oldalán álló kifejezés vagy ($\displaystyle (x-3)^2-4$)-gyel egyenlő, vagy ($\displaystyle -(x-3)^2+4$)-gyel, attól függően, hogy az $\displaystyle x$ a $\displaystyle H_1=(- \infty ; 1]\cup[5 ;+\infty)$, vagy a $\displaystyle H_2=(1;5)$ halmaznak eleme.

1. első eset, amikor $\displaystyle x\in H_1=(- \infty \; 1]\cup[5\;+\infty)$:
$$\begin{align*} (x-3)^2-4 & = p(x-3)^2+4, \\ 0 & = (p-1)(x-3)^2+8. \end{align*}$$

Itt $\displaystyle p$ értékétől függően a megoldások száma a következőképp alakul:

1. Ha $\displaystyle p=1$, akkor a $\displaystyle 0=8$ egyenlőség egyetlen $\displaystyle x$-re sem teljesül, vagyis nincs megoldás.
2. Ha $\displaystyle p>1$, akkor $\displaystyle (p-1)(x-3)^2+8 \geq 8$, vagyis szintén nincs megoldás.
3. Ha $\displaystyle p<1$, akkor azt kapjuk rendezés után, hogy

$\displaystyle (x-3)^2=\frac{8}{1-p}.$

Ami azt jelenti, hogy pontosan akkor van két gyök, ha $\displaystyle x_1$ és $\displaystyle x_2$ a $\displaystyle H_1$ elemei, vagyis $\displaystyle \displaystyle{ x_1=-\sqrt{\frac{8}{1-p}}+3\leq 1}$ és $\displaystyle \displaystyle{ x_2=\sqrt{\frac{8}{1-p}}+3\geq 5}$. Ezek a feltételek pontosan akkor teljesülnek, ha $\displaystyle \displaystyle{\sqrt{\frac{8}{1-p}}\geq 2}$. Rendezés után azt kapjuk, hogy $\displaystyle 8\geq 4-4p$, vagyis $\displaystyle p \geq -1$.

• Tehát ha $\displaystyle -1\leq p<1$, akkor két megoldás van,
• ha $\displaystyle p<-1$, akkor nincs megoldás.
2. második eset, amikor $\displaystyle x\in H_2=(1;5)$:

$\displaystyle |x^2-6x+5|=-x^2+6x-5 = -(x-3)^2+4 = p(x-3)^2+4.$

Rendezés után:

$\displaystyle 0 = (p+1)(x-3)^2.$

Itt a megoldások száma a $\displaystyle H_2$ halmazon $\displaystyle p$ értékétől függően a következőképp alakul:

1. $\displaystyle p=-1$ esetén végtelen sok megoldás van (bármely $\displaystyle x\in H_2$).
2. $\displaystyle p\neq -1$ esetén egy megoldás van, (amely az $\displaystyle x=3$).

VÁLASZ:

• Ha $\displaystyle p<-1$, akkor egy megoldás van ($\displaystyle x=3$).
• Ha $\displaystyle p=-1$, akkor végtelen sok megoldás van (bármely $\displaystyle x\in H_2$).
• Ha $\displaystyle -1<p<1$, akkor három megoldás van.
• Ha $\displaystyle p\geq 1$, akkor egy megoldás van ($\displaystyle x=3)$.

Statisztika:

163 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Balogh Péter, Barna Márton, Bartusková Viktória, Beinschroth Máté, Bencze Mátyás, Braun Zsófia, Dancsák Dénes, Domján István, Halmosi Dávid, Hetyei Dániel, Horváth Imre, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Márfai Dóra, Monoczki Máté, Németh Hanna Júlia , Palásthy Bánk, Pázmándi Renáta , Petró Péter, Pulka Gergely Tamás, Sándor Botond, Sipos Márton, Szabó 926 Bálint, Szabó Donát, Tóth 207 Bence, Tóth Hanga Katalin, Tóth Marcell Domonkos, Török Eszter Júlia, Wodala Gréta Klára.
4 pontot kapott:	Baksa Anna, Balog 888 Emese, Blaskovics Ádám, Budai Máté, Csiszár András, Hajdú Ábel, Holczer Kenéz, Hollósi Dominik, Kökény Kristóf, Kulcsár Anna Zita, Masa Barnabás, Medgyesi Júlia, Mizsei Márton, Nagy 292 Korina, Nelissen Sámuel Zalán, Szilágyi Balázs , Tajta Sára, Telegdy Kata, Tóth Luca.
3 pontot kapott:	27 versenyző.
2 pontot kapott:	32 versenyző.
1 pontot kapott:	26 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	13 dolgozat.

A KöMaL 2024. januári matematika feladatai