A C. 1799. feladat (2024. február)

C. 1799. Az egységnyi oldalú $\displaystyle ABCD$ négyzetben megrajzoltuk a $\displaystyle DEFG$, $\displaystyle AHKE$, $\displaystyle BMFL$ és $\displaystyle CGNP$ négyzeteket az ábra szerint.

Az $\displaystyle LFKH$ és $\displaystyle MPNF$ téglalapok területének összege legfeljebb hányadrésze lehet az $\displaystyle ABCD$ négyzet területének?

Adjuk meg ebben az esetben az $\displaystyle \dfrac{ED}{AD}$ arány pontos értékét.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. március 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk a feladatban szereplő ábrát és annak jelöléseit a megoldáshoz is!

Legyen $\displaystyle DE=x$. A $\displaystyle DEFG$ négyzet, tehát $\displaystyle DE=DG=x$. Ekkor igazak az alábbi egyenlőségek is:

$\displaystyle EA=KH=FL=MB=LB=FM=NP=GC=1-x.$

Az $\displaystyle LFKH$ és $\displaystyle MPNF$ téglalapok egybevágók, oldalaik pedig:

$\displaystyle KH=FM=1-x,$

$\displaystyle HL=MP=1-2(1-x)=2x-1.$

Területösszegüket $\displaystyle x$ függvényében a következő kifejezések helyettesítési értékei adják meg (ahol $\displaystyle 0<x<1$):

$\displaystyle T_{LFKH}+T_{MPNF}=2(1-x)(2x-1)=2\big(-2x^2+3x-1\big)=-4\Biggl(x^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\Biggr)=-4\Biggl(\Bigl(x-\frac{3}{4}\Bigr)^2-\frac{1}{16}\Biggr)=-4\Biggl(x-\frac{3}{4}\Biggr)^2+\frac{1}{4}.$

Ennek a kifejezésnek pontosan akkor van maximuma, ha $\displaystyle \displaystyle{x=\frac{3}{4}}$, ebben az esetben a helyettesítési érték, vagyis a maximális területösszeg $\displaystyle \displaystyle\frac{1}{4}$. A keresett arány pedig $\displaystyle \displaystyle{\frac{ED}{AD}=\frac{x}{1}=\frac{3}{4}}$.

Statisztika:

166 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	93 versenyző.
4 pontot kapott:	32 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	8 dolgozat.

A KöMaL 2024. februári matematika feladatai