A C. 1800. feladat (2024. február)

C. 1800. Mutassuk meg, hogy ha $\displaystyle n$ természetes szám, akkor a

$\displaystyle \Bigl[\sqrt{16n+21}; \sqrt{16n+24}\Bigr]$

intervallumban nincs egész szám.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. március 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az állítást indirekt módon bizonyítjuk. Tegyük fel, hogy létezik egy $\displaystyle k$ pozitív egész szám, amely az adott intervallumban van, azaz igaz, hogy $\displaystyle \sqrt{16n+21}\le k \le \sqrt{16n+24}.$ Tudjuk, hogy $\displaystyle n \ge 0$ , tehát $\displaystyle 16n+21$ pozitív, így a gyökvonások mindig értelmezettek, valamint mindhárom szám pozitív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás. Négyzetre emelés után azt kapjuk, hogy

$\displaystyle 16n+21\le k^2 \le 16n+24,$

tehát a $\displaystyle 16n+21,$ $\displaystyle 16n+22,$ $\displaystyle 16n+23,$ $\displaystyle 16n+24$ számok valamelyike négyzetszám kell hogy legyen. Mivel $\displaystyle 16n+21=16(n+1)+5$ , ezért $\displaystyle 16$ -tal osztva $\displaystyle 5$ maradékot ad. A $\displaystyle 16n+22$ szám $\displaystyle 16$ -tal való osztási maradéka $\displaystyle 6$ , a $\displaystyle 16n+23$ -é $\displaystyle 7$ , a $\displaystyle 16n+24$ -é pedig $\displaystyle 8$ . Most nézzük meg, hogy egy $\displaystyle m$ egész szám négyzete $\displaystyle 16$ -tal osztva milyen maradékot adhat.

Az $\displaystyle m$ maradéka	$\displaystyle m$	$\displaystyle m^2$	Az $\displaystyle m^2$ maradéka
$\displaystyle 0$	$\displaystyle 16l$	$\displaystyle 256l^2$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 1$ vagy $\displaystyle 15$	$\displaystyle 16l \pm 1$	$\displaystyle 256l^2 \pm 32l +1$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle 2$ vagy $\displaystyle 14$	$\displaystyle 16l \pm 2$	$\displaystyle 256l^2 \pm 64l +4$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle 3$ vagy $\displaystyle 13$	$\displaystyle 16l \pm 3$	$\displaystyle 256l^2 \pm 96l +9$	$\displaystyle 9$
$\displaystyle 4$ vagy $\displaystyle 12$	$\displaystyle 16l \pm 4$	$\displaystyle 256l^2 \pm 128l +16$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 5$ vagy $\displaystyle 11$	$\displaystyle 16l \pm 5$	$\displaystyle 256l^2 \pm 160l +25$	$\displaystyle 9$
$\displaystyle 6$ vagy $\displaystyle 10$	$\displaystyle 16l \pm 6$	$\displaystyle 256l^2 \pm 192l +36$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle 7$ vagy $\displaystyle 9$	$\displaystyle 16l \pm 7$	$\displaystyle 256l^2 \pm 224l +49$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle 8$	$\displaystyle 16l + 8$	$\displaystyle 256l^2 +256l +64$	$\displaystyle 0$

A táblázatból kiolvashatjuk, hogy egy négyzetszám $\displaystyle 16$ -tal osztva csak $\displaystyle 0, 1, 4$ vagy $\displaystyle 9$ maradékot adhat. Ellentmondásra jutottunk, hiszen láttuk, hogy ha létezne megfelelő $\displaystyle k$ , akkor a négyzetének $\displaystyle 16$ -tal való osztási maradéka kizárólag $\displaystyle 5$ , $\displaystyle 6$ , $\displaystyle 7$ vagy $\displaystyle 8$ lehetne. Ezzel a bizonyítás végére értünk, beláttuk, hogy amennyiben $\displaystyle n$ természetes szám, akkor a $\displaystyle \left[\sqrt{16n+21}; \sqrt{16n+24}\right ]$ intervallum nem tartalmaz egyetlen egész számot sem.

Statisztika:

120 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 60 versenyző.

4 pontot kapott: 8 versenyző.

3 pontot kapott: 3 versenyző.

2 pontot kapott: 4 versenyző.

1 pontot kapott: 11 versenyző.

0 pontot kapott: 20 versenyző.

Nem versenyszerű: 2 dolgozat.

Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 5 dolgozat.

A KöMaL 2024. februári matematika feladatai

120 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	60 versenyző.
4 pontot kapott:	8 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	20 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	5 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?