A C. 1801. feladat (2024. február)

C. 1801. Legyen az \(\displaystyle a_n\) sorozat a következő: \(\displaystyle a_1=2\) és \(\displaystyle a_n=a_{n-1}+2n\). Mennyi a sorozat első \(\displaystyle 2024\) tagjának reciprokösszege? (Vagyis mennyi az \(\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+ \dots +\frac{1}{a_{2024}}\) kifejezés értéke?)

Javasolta: Szmerka Gergely (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. március 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A sorozat első tagja \(\displaystyle 2\), ez az első pozitív páros szám, az \(\displaystyle n\)-edik tagja pedig éppen az \(\displaystyle n\)-edik pozitív páros számmal lesz nagyobb az (\(\displaystyle n-1\))-edik tagnál. Az \(\displaystyle n\)-edik tag tehát éppen az első \(\displaystyle n\) darab pozitív páros szám összege.
\(\displaystyle \displaystyle{a_1=2}\),
\(\displaystyle \displaystyle{a_2=2+2 \cdot 2=2+4=6}\),
\(\displaystyle \displaystyle{a_3=2+4+2\cdot3=2+4+6=12}\),
\(\displaystyle \vdots\)
\(\displaystyle \displaystyle{a_n=2+4+\dots+2n=2(1+2+\dots+n)=2\cdot \frac{n(n+1)}{2}=n(n+1).}\)
A sorozat tetszőleges elemének reciproka felbontható egy kéttagú összegre: \(\displaystyle \displaystyle{\frac{1}{a_n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}\). Így tehát a keresett összeg a következőképp írható fel:

\(\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+ \dots +\frac{1 }{a_{2024}}=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\dots +\frac{1}{2024\cdot2025}=\)

\(\displaystyle =\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\pm\dots +\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}.\)

Ebben az összegben a szomszédos tagok láthatóan kiütik egymást úgy, hogy megmarad az első és az utolsó:

\(\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+ \dots +\frac{1 }{a_{2024}}=1-\frac{1}{2025}=\frac{2024}{2025}.\)

Statisztika:

73 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bajor Tünde, Balogh Péter, Barna Márton, Bencze Mátyás, Bérczes Botond, Bettesch Emma Léda, Biborka Bernadett, Braun Zsófia, Dancsák Dénes, Gyuricsek Ákos, Harmincz Sára, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Jankovics Gábor, Járdánházi-Kurutz Vilmos, Márfai Dóra, Masa Barnabás, Mező Levente, Monoczki Máté, Nagy 292 Korina, Nagy 665 Martin, Palásthy Bánk, Pánovics Máté, Petró Péter, Simon Bálint, Szabó Donát, Tóth-Falusi Mihály, Török Eszter Júlia, Ujpál Bálint, Varga Balázs, Viczián Márk, Wodala Gréta Klára, Žigo Boglárka.
4 pontot kapott:	Feczkó Illés Tivadar, Hajdú Ábel, Halmai Attila, Papp Zsófia, Puskás Péter, Raffay Gergely, Ruttkay Zoltán Gergő, Sebők Violetta Írisz, Somogyi Dóra, Tóth Ágoston.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.

A KöMaL 2024. februári matematika feladatai